Question

7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D的切线DE，交BC于E．
（1）求证：EB=EC；
（2）若以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接OD、CD，结合AC为直径可得到∠CDB=90°，由ED=CE，再利用角的和差可求得∠ODE=90°，然后根据同角的余角相等证得∠EDB=∠B，由等腰三角形的判定即可得到结论；
（2）证明∠B=45°，∠A=45°，进而证明AC=BC即可解决问题．

解答 （1）证明：如图，连接OD、CD，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠CDB=90°，
∵E为BC的中点，
∴DE=CE，
∴∠ECD=∠EDC，
∴∠OCD+∠ECD=∠ODC+∠EDC=90°，
∴∠ODE=∠ACB=90°，
即OD⊥DE，
∴∠ODC+∠CDE=∠OCD+DCE=90°，
∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，
∴∠DCE=∠CDE，
同理∠EDB=∠B，
∴DE=BE；

（2）解：△ABC是等腰直角三角形，
当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，则∠DEB=90°，
又∵DE=BE，
∴△DEB是等腰直角三角形，
则∠B=45°，∠A=45°，
∴AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形．

点评 本题主要考查切线的判定及等腰直角三角形的判定，掌握切线的判定方法是解题的关键．