Question

2．如图1，点D为△ABC边BC的延长线上一点．
（1）若∠A：∠ABC=3：4，∠ACD=140°，求∠A的度数；
（2）若∠ABC的角平分线与∠ACD的角平分线交于点M，过点C作CP⊥BM于点P．求证：∠MCP=90°-$\frac{1}{2}$∠A；
（3）在（2）的条件下，将△MBC以直线BC为对称轴翻折得到△NBC，∠NBC的角平分线与∠NCB的角平分线交于点Q（如图2），试探究∠BQC与∠A有怎样的数量关系，请写出你的猜想并证明．

Answer 1

分析 （1）先根据∠A：∠ABC=3：4，设∠A=3k，∠ABC=4k，再由三角形外角的性质求出k的值，进而可得出结论；
（2）根据三角形外角的性质得出∠M=∠MCD-∠MBC，∠A=∠ACD-∠ABC．再由MC、MB分别平分∠ACD、∠ABC得出∠MCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，∠MBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，故∠M=$\frac{1}{2}$（∠ACD-∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A．根据CP⊥BM即可得出结论；
（3）根据BQ平分∠CBN，CQ平分∠BCN可知∠QBC=$\frac{1}{2}$∠CBN，∠QCB=$\frac{1}{2}$∠BCN，再根据三角形内角和定理可知，∠Q=180°-$\frac{1}{2}$（∠CBN+∠BCN）=$\frac{1}{2}$（180°-∠N）=90°+$\frac{1}{2}$∠N．由（2）知：∠M=$\frac{1}{2}$∠A．根据轴对称性质知：∠M=∠N，由此可得出结论．

解答 （1）解：∵∠A：∠ABC=3：4，
∴可设∠A=3k，∠ABC=4k，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC=140°，
∴3k+4k=140°，
解得k=20°．
∴∠A=3k=60°．

（2）证明：∵∠MCD是△MBC的外角，
∴∠M=∠MCD-∠MBC．
同理可得，∠A=∠ACD-∠ABC．
∵MC、MB分别平分∠ACD、∠ABC，
∴∠MCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，∠MBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠M=$\frac{1}{2}$（∠ACD-∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A．
∵CP⊥BM，
∴∠PCM=90°-∠M=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

（3）猜想∠BQC=90°+$\frac{1}{4}$∠A．
证明如下：
∵BQ平分∠CBN，CQ平分∠BCN，
∴∠QBC=$\frac{1}{2}$∠CBN，∠QCB=$\frac{1}{2}$∠BCN，
∴∠Q=180°-$\frac{1}{2}$（∠CBN+∠BCN）=$\frac{1}{2}$（180°-∠N）=90°+$\frac{1}{2}$∠N．
由（2）知：∠M=$\frac{1}{2}$∠A．
又由轴对称性质知：∠M=∠N，
∴∠BQC=90°+$\frac{1}{4}$∠A．

点评 本题考查的是三角形内角和定理，在解答此题时要注意轴对称的性质及翻折变换、三角形外角的性质及角平分线的性质等知识的灵活运用，难度适中．