Question

11．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=3，CD=5$\sqrt{2}$，点P在线段AB上．若△PCD是以点P为直角顶点的直角三角形，则AP=1或6．

Answer 1

分析 作DE⊥BC于E，则DE=AB，BE=AD=2，∠DEC=90°，得出CE，由勾股定理求出DE，得出AB，AP=x，则BP=7-x，证明△APD∽△BCP，得出对应边成比例$\frac{AP}{BC}=\frac{AD}{BP}$，解方程求出x即可即可．

解答 解：作DE⊥BC于E，如图所示：
则DE=AB，BE=AD=2，∠DEC=90°，
∴CE=BC-BE=1，
∴DE=$\sqrt{C{D}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{50-1}$=7，
∴AB=7，
设AP=x，则BP=7-x，
∵∠CPD=90°，
∴∠APD+∠BPC=90°，
∵∠B=90°，AD∥BC，
∴∠BPC+∠BCP=90°，∠A+∠B=180°，
∴∠A=90°=∠B，∠APD=∠BCP，
∴△APD∽△BCP，
∴$\frac{AP}{BC}=\frac{AD}{BP}$，
即$\frac{x}{3}=\frac{3}{7-x}$，
解得：x=1，或x=6，
即AP=1，或AP=6；
故答案为：1或6．

点评 本题考查了直角梯形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握直角梯形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．