Question

16．我们把“有两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形”叫做“同族三角形”，如图1，在△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，则△ABC和△ABD是“同族三角形”．
（1）如图2，四边形ABCD内接于圆，点C是弧BD的中点，求证：△ABC和△ACD是同族三角形；
（2）如图3，△ABC内接于⊙O，⊙O的半径为3$\sqrt{2}$，AB=6，∠BAC=30°，求AC的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，若点D在⊙O上，△ADC与△ABC是非全等的同族三角形，AD＞CD，求$\frac{AD}{CD}$的值．

Answer 1

分析 （1）由点C是弧BD的中点，根据弧与弦的关系，易得BC=CD，∠BAC=∠DAC，又由公共边AC，可证得：△ABC和△ACD是同族三角形；
（2）首先连接OA，OB，作点B作BE⊥AC于点E，易得△AOB是等腰直角三角形，继而求得答案；
（3）分别从当CD=CB时与当CD=AB时去分析求解即可求得答案．

解答 （1）证明：∵点C是弧BD的中点，即$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$，
∴BC=CD，∠BAC=∠DAC，
∵AC=AC，
∴△ABC和△ACD是同族三角形；

（2）解：如图1，连接OA，OB，作点B作BE⊥AC于点E，
∵OA=OB=3$\sqrt{2}$，AB=6，
∴OA²+OB²=AB²，
∴△AOB是等腰直角三角形，且∠AOB=90°，
∴∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB=45°，
∵∠BAC=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∵CE=BE=3，
∴AC=AE+CE=3$\sqrt{3}$+3；

（3）解：∵∠B=180°-∠BAC-∠ACB=180°-30°-45°=105°，
∴∠ADC=180°-∠B=75°，
如图2，当CD=CB时，∠DAC=∠BAC=30°，
∴∠ACD=75°，
∴AD=AC=3$\sqrt{3}$+3，CD=BC=$\sqrt{2}$BE=3$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{3\sqrt{3}+3}{3\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$；
如图3，当CD=AB时，过点D作DF⊥AC，交AC于点F，
则∠DAC=∠ACB=45°，
∴∠ACD=180°-∠DAC-∠ADC=60°，
∴DF=CD•sin60°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴AD=$\sqrt{2}$DF=3$\sqrt{6}$，
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{3\sqrt{6}}{6}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
综上所述：$\frac{AD}{CD}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 此题属于圆的综合题．考查了圆周角定理、弧与弦的关系、圆的内接四边形的性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．