Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=

m

x

 ( x＜0 ， m是常数 )的图象经过点A（-1，6），点B（a，b）是图象上的一个动点，且a＜-1，过点A作x轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的垂线，垂足为D，连接BC、AD．
（1）求m的值；
（2）试比较△ABD与△ABC的面积的大小关系；
（3）当AD=BC时，求直线AB的解析式．

Answer 1

分析：（1）因为反比例函数经过（-1，6）可求出m的值．
（2）设BD、AC交于点E，有E点坐标为（-1，b），可分别表示出△ABD的面积和△ABC的面积可看看大小．
（3）连接CD，过点C，D分别作CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N，则有CM∥DN，然后根据AD和BC平行，和AD和BC不平行两种情况进行讨论．

解答：解：（1）∵反比例函数y=

m

x

的图象经过点A（-1，6），
∴m=-6．（1分）

（2）设BD、AC交于点E，依题意，有E点坐标为（-1，b）．
∴△ABD的面积=

1

2

BD•AE=

1

2

(-a)•(6-b)=-3a+

1

2

ab=-3a-3，（2分）
△ABC的面积=

1

2

AC•BE=

1

2

×6•(-1-a)=-3-3a．（3分）
∴△ABD与△ABC的面积相等．（4分）

（3）连接CD，过点C，D分别作CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N，则有CM∥DN．
∵△ABD与△ABC的面积相等，
∴CM=DN．∴四边形CMND是矩形．
∴CD∥AB．（6分）
当AD=BC时，有两种情况：
①当AD∥BC时，四边形ABCD是平行四边形，则有AE=CE，
即6-b=b，∴b=3，∴a=-2．
∴B点坐标为（-2，3）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，把A、B两点坐标代入，得

-k+b=6 -2k+b=3.

解得

k=3 b=9.

∴直线AB的解析式为y=3x+9．（7分）
②当AD与BC不平行时，四边形ABCD是等腰梯形，则有BD=AC，
即-a=6，∴a=-6，∴b=1．
∴B点坐标为（-6，1）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，把A、B两点坐标代入，得

-k+b=6 -6k+b=1.

解得

k=1 b=7.

∴直线AB的解析式为y=x+7．（8分）
综上所述，所求直线AB的解析式为y=3x+9或y=x+7．

点评：本题考查反比例函数的综合运用，通过过函数图象上的点确定k的值，以及图象上的点和坐标轴上的点构成的三角形的面积的特点，以及确定直线的解析式．