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    （14分）如图，△ABC中，点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE。

    （1）若要使△ACD≌△EBD，应添上条件：__________

    （2）证明上题：

    （3）在△ABC中，若AB=5.AC=3，可以求得BC边上的中线AD的取值范围AD＜4.请看解题过程：

    由△ACD≌△EBD得：AD=ED，BE=AC=3，因此AE＜AB+BE，即AE＜8，而AD=AE，

    则AD＜4，请参考上述解题方法，可求得AD＞m，则m的值为_______________.

    （4）证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（提示：画出图形，写出已知，求证，并加以证明）

     

    （1）如AD=ED（只要条件符合均可以） （2）见解析 （3）m=1

    【解析】

    试题分析：（1）若要使△ACD≌△EBD，应添上条件：AD=ED；

    （2）由D为BC的中点，得到BD=CD，再根据∠ADC=∠EDB，AD=ED利用SAS可得出△ACD≌△EBD；

    （3）在三角形ABE中，利用两边之差小于第三边，得到AB-BE小于AE，求出AE大于2，由D为AE的中点，得到AD大于1，从而求出m=1．

    （4）作出图形，然后写出已知，求证，延长CD到E，使DE=CD，连接AE、BE，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形AEBC是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形AEBC是矩形，然后根据矩形的对角线互相平分且相等可得CD=AB．

    试题解析：

    （1）若要使△ACD≌△EBD，应添上条件：AD=ED；

    （2）证明：

    又∵D为BC的中点，

    ∴BD=CD，

    在△ACD和△EBD中，，

    ∴△ACD≌△EBD（SAS）；

    （3）在△ABE中，AE＞AB-BE=5-3=2，

    又∵△ACD≌△EBD，

    ∴AD=DE=AE，

    ∴AD＞1

    ∴m=1．

    （4）

    已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，

    求证：CD=AB；

    证明：如图，延长CD到E，使DE=CD，连接AE、BE，

    ∵CD是斜边AB上的中线，

    ∴AD=BD，

    ∴四边形AEBC是平行四边形

    ∵∠ACB=90°，

    ∴四边形AEBC是矩形，

    ∴AD=BD=CD=DE，

    ∴CD=AB．

    考点：中点的性质，三角形全等的判定，直角三角形的性质，矩形的性质

     

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