Question

（11分）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．

（1）求AC、AD的长；

（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）AC=8，AD=5cm；（2）直线PC与⊙O相切，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）连接BD，在RT△ABC中，由勾股定理可得AC=8，在等腰直角三角形ABD中可得AD=5cm；

（2）观察图形可得直线PC与⊙O相切，连接OC，根据条件证明OC⊥PC，即可.

试题解析：【解析】
（1）①如图，连接BD，

∵AB是直径，

∴∠ACB=∠ADB=90°，

在RT△ABC中，

AC===8， 3分

②∵CD平分∠ACB，

∴AD=BD，

∴Rt△ABD是等腰直角三角形，

∴AD=AB=×10=5cm； 6分

（2）直线PC与⊙O相切，

理由：连接OC，

∵OC=OA，

∴∠CAO=∠OCA，

∵PC=PE，

∴∠PCE=∠PEC，

∵∠PEC=∠CAE+∠ACE，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACE=∠ECB，

∴∠PCB=∠ACO，

∵∠ACB=90°，

∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°，

OC⊥PC，

∴直线PC与⊙O相切． 11分

考点：1.圆周角定理及其推论；2.勾股定理；3.等腰直角三角形的判定与性质；4.切线的判定.