Question

【题目】问题：如图①，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB=，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．

李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形(如图②)，连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证)，可得∠AP′B＝ °，所以∠BPC＝∠AP′B＝ °，还可证得△ABP是直角三角形，进而求出等边三角形ABC的边长为 ，问题得到解决．

（1）根据李明同学的思路填空：∠AP′B＝ °，∠BPC＝∠AP′B＝ °，等边三角形ABC的边长为 ．

（2）探究并解决下列问题：如图③，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，PB＝，PC＝1.求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．

Answer 1

【答案】（1）∠AP′B＝150°，∠BPC＝∠AP′B＝150°，等边三角形ABC的边长为；（2）∠BPC＝135°，正方形ABCD的边长为.

【解析】

根据旋转得出AP′=CP=1，BP′=BP=，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC，求出∠ABP′+∠ABP=60°，得到等边△BPP′，推出PP′=，∠BP′P=60°，求出∠AP′P=90°即可求出∠BPC；过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，由∠MP′B=30°，求出BM=，P′M=，根据勾股定理即可求出答案；

（2）求出∠BEP=（180°-90°）=45°，根据勾股定理的逆定理求出∠AP′P=90°，推出∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°；过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，求出FE=BF=1，AF=2，关键勾股定理即可求出AB．

（1）∵等边△ABC，

∴∠ABC=60°，

将△BPC绕点B逆时针旋转60°得出△ABP′，

∴AP′=CP=1，BP′=BP=，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC，

∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，

∴∠ABP′+∠ABP=∠ABC=60°，

∴△BPP′是等边三角形，

∴PP′=，∠BP′P=60°，

∵AP′=1，AP=2，

∴AP′2+PP′2=AP2，

∴∠AP′P=90°，

∴∠BPC=∠AP′B=90°+60°=150°，

过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，

∴∠MP′B=30°，BM=，

由勾股定理得：P′M=，

∴AM=1+=，

由勾股定理得：AB=，

故答案为：150°，．

（2）将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，

与（1）类似：可得：AE=PC=1，BE=BP=，∠BPC=∠AEB，∠ABE=∠PBC，

∴∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°，

∴∠BEP=（180°-90°）=45°，

由勾股定理得：EP=2，

∵AE=1，AP=，EP=2，

∴AE2+PE2=AP2，

∴∠AEP=90°，

∴∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°，

过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F；

∴∠FEB=45°，

∴FE=BF=1，

∴AF=2；

∴在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB=；

∴∠BPC=135°，正方形边长为．

答：∠BPC的度数是135°，正方形ABCD的边长是．