Question

如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．

（1）如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为　24　；

（2）如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；

（3）如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）如图①，过A作AE⊥BC，

∴四边形AECD为矩形，

∴EC=AD=8，BE=BC﹣EC=12﹣8=4，

在Rt△ABE中，∠ABE=60°，BE=4，

∴AB=2BE=8，AE==4，

则S_△BMC=BC•AE=24；

故答案为：24；

（2）如图②，作点C关于直线AD的对称点C′，连接C′N，C′D，C′B交AD于点N′，连接CN′，则BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+CN′，

∴△BNC周长的最小值为△BN′C的周长=BN′+CN′+BC=BC′+BC，

∵AD∥BC，AE⊥BC，∠ABC=60°，

∴过点A作AE⊥BC，则CE=AD=8，

∴BE=4，AE=BE•tan60°=4，

∴CC′=2CD=2AE=8，

∵BC=12，

∴BC′==4，

∴△BNC周长的最小值为4+12；

（3）如图③所示，存在点P，使得cos∠BPC的值最小，

作BC的中垂线PQ交BC于点Q，交AD于点P，连接BP，CP，作△BPC的外接圆O，圆O与直线PQ交于点N，则PB=PC，圆心O在PN上，

∵AD∥BC，

∴圆O与AD相切于点P，

∵PQ=DC=4＞6，

∴PQ＞BQ，

∴∠BPC＜90°，圆心O在弦BC的上方，

在AD上任取一点P′，连接P′B，P′C，P′B交圆O于点M，连接MC，

∴∠BPC=∠BMC≥∠BP′C，

∴∠BPC最大，cos∠BPC的值最小，

连接OB，则∠BON=2∠BPN=∠BPC，

∵OB=OP=4﹣OQ，

在Rt△BOQ中，根据勾股定理得：OQ²+6²=（4﹣OQ）²，

解得：OQ=，

∴OB=，

∴cos∠BPC=cos∠BOQ==，

则此时cos∠BPC的值为．