【题目】(背景介绍)勾股定理是几何学中的明珠,充满着魅力.千百年来,人们对它的证明趋之若骛,其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者.向常春在1994年构造发现了一个新的证法.
(小试牛刀)把两个全等的直角三角形如图1放置,其三边长分别为a、b、c.显然,∠DAB=∠B=90°,AC⊥DE.请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积,再探究这三个图形面积之间的关系,可得到勾股定理:
S梯形ABCD= ,
S△EBC= ,
S四边形AECD= ,
则它们满足的关系式为 ,经化简,可得到勾股定理.
(知识运用)(1)如图2,铁路上A、B两点(看作直线上的两点)相距40千米,C、D为两个村庄(看作两个点),AD⊥AB,BC⊥AB,垂足分别为A、B,AD=25千米,BC=16千米,则两个村庄的距离为 千米(直接填空);
(2)在(1)的背景下,若AB=40千米,AD=24千米,BC=16千米,要在AB上建造一个供应站P,使得PC=PD,请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出AP的距离.
(知识迁移)借助上面的思考过程与几何模型,求代数式最小值(0<x<16)
【答案】【小试牛刀】,
,
,
a(a+b)=
b(a-b)+
c2.
【知识运用】(1)41;(2)作图见解析;
【知识迁移】20.
【解析】
【小试牛刀】
根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出.
【知识运用】
(1)连接CD,作CE⊥AD于点E,根据AD⊥AB,BC⊥AB得到BC=AE,CE=AB,从而得到DE=AD-AE=24-16=8千米,利用勾股定理求得CD两地之间的距离.
(2)连接CD,作CD的垂直平分线角AB于P,P即为所求;设AP=x千米,则BP=(40-x)千米,分别在Rt△APD和Rt△BPC中,利用勾股定理表示出CP和PD,然后通过PC=PD建立方程,解方程即可.
【知识迁移】
根据轴对称-最短路线的求法即可求出.
[小试牛刀]
S梯形ABCD=
S△EBC=
S四边形AECD=.
根据S梯形ABCD= S△EBC + S四边形AECD,得a(a+b)=
b(a-b)+
c2.
故答案为:,
,
,
a(a+b)=
b(a-b)+
c2.
[知识运用](1)如图2①,连接CD,作CE⊥AD于点E,
∵AD⊥AB,BC⊥AB,
∴BC=AE,CE=AB,
∴DE=AD-AE=25-16=9千米,
∴CD==41千米,
∴两个村庄相距41千米.
故答案为41.
(2)如图2②所示:
设AP=x千米,则BP=(40-x)千米,
在Rt△ADP中,DP2=AP2+AD2=x2+242,
在Rt△BPC中,CP2=BP2+BC2=(40-x)2+162,
∵PC=PD,
∴x2+242=(40-x)2+162,
解得x=16,
即AP=16千米.
[知识迁移]:如图3,
代数式的最小值为:
=20.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某学校为了增强学生体质,决定开设以下体育课外活动项目:A:篮球 B:乒乓球C:羽毛球 D:足球,为了解学生最喜欢哪一种活动项目,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图,请回答下列问题:
(1)这次被调查的学生共有 人;
(2)请你将条形统计图(2)补充完整;
(3)在平时的乒乓球项目训练中,甲、乙、丙、丁四人表现优秀,现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛,求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知正方形ABCD的边长是4,点E是AB边上一动点,连接CE,过点B作BG⊥CE于点G,点P是AB边上另一动点,则PD+PG的最小值为_____.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知,如图所示,正方形的边长为1,
为
边上的一个动点(点
与
、
不重合),以
为一边向正方形
外作正方形
,连接
交
的延长线于点
.
(1)求证:①≌△
. ②
.
(2)当平分
时,求
的长.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图①,△ABC中,∠B、∠C平分线交于O点,过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.
(1)猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系并说明理由
(2)如图②,若△ABC中∠B的平分线BE与三角形外角∠ACD平分线CE交于E,且AE∥BC,AE=13,BC=24.求四边形ABCE周长和面积.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线AC的表达式为,直线
与直线
相交于点
,有一动点
在线段
和线段
上运动.
(1)求直线的表达式.
(2)求的面积.
(3)是否存在点M,使的面积是
的面积的
?若存在请直接写出点M的坐标.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在△ABC中,PM、QN分别垂直平分AB、AC,交BC于点P、Q, P点在Q点左侧.
(1)BC=10,求△APQ的周长;
(2)若∠BAC=,∠PAQ=
,求
与
的关系,并指出
的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A,B两点,点A的坐标为(2,3),点B的坐标为(n,1).
(1)求n的值,并结合图象,直接写出不等式<kx+b的解集;
(2)点E为x轴上一个动点,若S△AEB=6,求点E的坐标.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com