Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16cm，DC=12cm，AD=21cm．动点P从点D出发，在线段DA上以每秒2cm的速度向点A运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1cm的速度向点B运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
（1）PD=

 

，BQ=

 

（用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，△QBP≌△APB；
（3）是否存在这样的t，使PB平分∠APQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）根据点P、Q的运动速度可得出结论；
（2）根据AD∥BC可知∠APB=∠QBP，再由BP=PB，可知当BQ=PA时△QBP≌△APB，故可得出t的值；
（3）根据PB平分∠APQ可知∠APB=∠QPB，由平行线的性质得出∠APB=∠QBP，故可得出QP=QB．作QH⊥AD，在Rt△PHQ中根据勾股定理可得出t的值．

解答：解：（1）∵动点P从点D出发，在线段DA上以每秒2cm的速度向点A运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1cm的速度向点B运动，
∴PD=2t，BQ=16-t．
故答案为：2t，16-t；                               

（2）∵AD∥BC，
∴∠APB=∠QBP．
又∵BP=PB，
∴当BQ=PA时，△QBP≌△APB，即16-t=21-2t，解得t=5；

（3）存在．
理由：∵PB平分∠APQ，
∴∠APB=∠QPB．
∵∠APB=∠QBP，
∴∠QPB=∠QBP，
∴QP=QB．                                       
作QH⊥AD，可得QH=12，PH=t
∴PQ²=12²+t²                                  
由QP²=QB²得12²+t²=（16-t）²                    
解得t=

7

2

．
∴存在这样的t=

7

2

，使PB平分∠APQ．

点评：本题考查的是四边形综合题，涉及到直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，难度适中．