【题目】如图,在边长为1的正方形组成的网格中,△AOB的顶点均在格点上,其中点A(5,4),B(1,3),将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1 .
(1)画出△A1OB1;
(2)在旋转过程中点B所经过的路径长为;
(3)求在旋转过程中线段AB、BO扫过的图形的面积之和.
【答案】
(1)解:△A1OB1如图所示
(2)
(3)解: 由勾股定理得,OA= =
,∵AB所扫过的面积=S扇形A1OA+S△A1B1O﹣S扇形B1OB﹣S△AOB=S扇形A1OA﹣S扇形B1OB,BO扫过的面积=S扇形B1OB,∴线段AB、BO扫过的图形的面积之和=S扇形A1OA﹣S扇形B1OB+S扇形B1OB=S扇形A1OA=
=
【解析】(2)由勾股定理得,BO= =
,
所以,点B所经过的路径长= =
;
故答案为: .
(1)根据题意是将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1,按要求画出图形即可。
(2)根据题意可知,在旋转过程中点B所经过的路径长是以O为圆心,OB为半径,圆心角为90°的弧长,因此先利用勾股定理求出半径OB的长,再根据弧长公式求出点B所经过的路径长即可。
(3)先利用勾股定理求出OA的长,再根据图形分别表示出AB所扫过的面积和BO扫过的面积,再求和,即线段AB、BO扫过的图形的面积之和S扇形A1OA然后根据三角形的面积公式和扇形的面积公式计算即可。
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【题目】如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)两点,点C是抛物线与y轴的交点.
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;
(2)当0<x<3时,求y的取值范围;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M,使△BCM是等腰三角形,若存在请直接写出点M坐标,若不存在请说明理由.
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【题目】在硬地上抛掷一枚图钉,通常会出现两种情况:
下面是小明和同学做“抛掷图钉实验”获得的数据:
抛掷次数n | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 | 800 | 900 | 1000 |
针尖不着地的频数m | 63 | 120 | 186 | 252 | 310 | 360 | 434 | 488 | 549 | 610 |
针尖不着地的频率 | 0.63 | 0.60 | 0.63 | 0.60 | 0.62 | 0.61 |
(1)填写表中的空格;
(2)画出该实验中,抛掷图钉钉尖不着地频率的折线统计图;
(3)根据“抛掷图钉实验”的结果,估计“钉尖着地”的概率为 .
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【题目】某工厂新开发生产一种机器,每台机器成本y(万元)与生产数量x(台)之间满足一次函数关系(其中10≤x≤70,且为整数),函数y与自变量x的部分对应值如表
x单位:台) | 10 | 20 | 30 |
y(单位:万元/台) | 60 | 55 | 50 |
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)市场调查发现,这种机器每月销售量z(台)与售价a(万元/台)之间满足如图所示的函数关系.
①该厂第一个月生产的这种机器40台都按同一售价全部售出,请求出该厂第一个月销售这种机器的总利润.(注:利润=售价﹣成本)
②若该厂每月生产的这种机器当月全部售出,则每个月生产多少台这种机器才能使每台机器的利润最大?
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【题目】如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,将纸片沿EF折叠,使点C与点A重合,则下列结论错误的是( )
A. AF=AEB. △ABE≌△AGFC. AF=EFD. BE=3
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【题目】已知y是x的一次函数,当x=1时,y=1;当x=-2时,y=-14.
(1)求这个一次函数的关系式;
(2)在如图所示的平面直角坐标系中作出函数的图像;
(3)由图像观察,当0≤x≤2时,函数y的取值范围.
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【题目】在某市开展的“体育、艺术2+1”活动中,某校根据实际情况,决定主要开设A:乒乓球,B:篮球,C:跑步,D:跳绳这四种运动项目.为了解学生喜欢哪一种项目,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成如图甲、乙所示的条形统计图和扇形统计图.请你结合图中的信息解答下列问题:
(1)求出所抽取的学生人数,并把条形统计图补充完整;
(2)样本中喜欢B项目的人数百分比是 ,其所在扇形统计图中的圆心角的度数是 ;
(3)已知该校有1 000人,根据样本估计全校喜欢跳绳的人数是多少?
图甲 图乙
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【题目】综合与实践
某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动,他们利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子(图1为无盖的长方体纸盒,图2为有盖的长方体纸盒),请你动手操作验证并完成任务.(纸板厚度及接缝处忽略不计)
动手操作一:
根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子.方法:先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形,再沿虚线折合起来.
问题解决
(1)该长方体纸盒的底面边长为_______;(请你用含
的代数式表示)
(2)若,
,则长方体纸盒的底面积为_______
;
动手操作二:
根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒.方法:先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形,再沿虚线折合起来.
拓展延伸
(3)该长方体纸盒的体积为______;(请你用含
的代数式表示)
(4)现有两张边长均为
的正方形纸板,分别按图1、图2的要求制作无盖和有盖的两个长方体盒子,若
,求无盖盒子的体积是有盖盒子体积的多少倍.
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