Question

【题目】如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过点A（-1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B，已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）当a=1时，求四边形MEFP面积的最大值，并求此时点P的坐标；

（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=－x2+4x+5；（2）当时，四边形MEFP面积的最大，最大值为，此时点P坐标为；（3）当时，四边形FMEF周长最小.

【解析】

试题（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）首先求出四边形MEFP面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最值及点P坐标；

（3）四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．如答图3所示，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）；作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，﹣1）；连接PM2，与x轴交于F点，此时ME+PF=PM2最小．

试题解析：方法一：

试题解析：（1）∵对称轴为直线x=2，

∴设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+k．

将A（﹣1，0），C（0，5）代入得：，解得，

∴y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5．

（2）当a=1时，E（1，0），F（2，0），OE=1，OF=2．

设P（x，﹣x2+4x+5），

如答图2，过点P作PN⊥y轴于点N，则PN=x，ON=﹣x2+4x+5，

∴MN=ON﹣OM=﹣x2+4x+4．

S四边形MEFP=S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME

=（PN+OF）ON﹣PNMN﹣OMOE

=（x+2）（﹣x2+4x+5）﹣x（﹣x2+4x+4）﹣×1×1

=﹣x2+x+

=﹣（x﹣）2+

∴当x=时，四边形MEFP的面积有最大值为，

把x=时，y=﹣（﹣2）2+9=．

此时点P坐标为（，）．

（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，

∴点P的纵坐标为3．

令y=﹣x2+4x+5=3，解得x=2±．

∵点P在第一象限，∴P（2+，3）．

四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF的周长将取得最小值．

如答图3，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）；

作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，﹣1）；

连接PM2，与x轴交于F点，此时ME+PF=PM2最小．

设直线PM2的解析式为y=mx+n，将P（2+，3），M2（1，﹣1）代入得：

，解得：m=，n=﹣，

∴y=x﹣．

当y=0时，解得x=．∴F（，0）．

∵a+1=，∴a=．

∴a=时，四边形PMEF周长最小．

方法二：

（1）略．

（2）连接MF，过点P作x轴垂线，交MF于点H，

显然当S△PMF有最大值时，四边形MEFP面积最大．

当a=1时，E（1，0），F（2，0），

∵M（0，1），

∴lMF：y=﹣x+1，

设P（t，﹣t2+4t+5），H（t，﹣t+1），

∴S△PMF=（PY﹣HY）（FX﹣MX），

∴S△PMF=（﹣t2+4t+5+t﹣1）（2﹣0）=﹣t2+t+4，

∴当t=时，S△PMF最大值为，

∵S△MEF=EF×MY=×1×1=，

∴S四边形MEFP的最大值为+=．

（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，

∴点P的纵坐标为3，∴﹣x2+4x+5=0，解得：x=2±，

∵点P在第一象限，∴P（2+，3），PM、EF长度固定，

当ME+PF最小时，PMEF的周长取得最小值，

将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1），

∵四边形MEFM1为平行四边形，

∴ME=M1F，

作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，﹣1），

∴M2F=M1F=ME，

当且仅当P，F，M2三点共线时，此时ME+PF=PM2最小，

∵P（2+，3），M2（1，﹣1），F（a+1，0），

∴KPF=KM1F，∴，∴a=．