Question

【题目】如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是正方形内都一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点F是AB边上一动点，连接FD，FE，则FD+FE的长度最小值为__．

Answer 1

【答案】2-2

【解析】

根据正方形的性质得到∠ABC＝90°，推出∠BEC＝90°，得到点E在以BC为直径的半圆上移动，如图，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形APGB，则点D的对应点是P，连接PO交AB于F，交⊙O于E，则线段EP的长即为FD+FE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°，

∴∠ABE+∠CBE＝90°，

∵∠ABE＝∠BCE，

∴∠BCE+∠CBE＝90°，

∴∠BEC＝90°，

∴点E在以BC为直径的半圆上移动，

如图，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形APGB，则点D的对应点是P，

连接PO交AB于F，交半圆O于E，则线段EP的长即为FD+FE的长度最小值，OE＝4，

∵∠G＝90°，PG＝BG＝AB＝4，

∴OG＝6，

∴OP＝＝，

∴EP＝-2，

∴FD+FE的长度最小值为-2，

故答案为：2-2．