【题目】(7分)某中学1000名学生参加了”环保知识竞赛“,为了了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分取整数,满分为100分)作为样本进行统计,并制作了如图频数分布表和频数分布直方图(不完整且局部污损,其中“■”表示被污损的数据).请解答下列问题:
成绩分组 | 频数 | 频率 |
50≤x<60 | 8 | 0.16 |
60≤x<70 | 12 | a |
70≤x<80 | ■ | 0.5 |
80≤x<90 | 3 | 0.06 |
90≤x≤100 | b | c |
合计 | ■ | 1 |
(1)写出a,b,c的值;
(2)请估计这1000名学生中有多少人的竞赛成绩不低于70分;
(3)在选取的样本中,从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取两名同学参加环保知识宣传活动,求所抽取的2名同学来自同一组的概率.
【答案】(1)a=0.24,b=2,c=0.04;(2)600人;(3)人.
【解析】
(1)利用50≤x<60的频数和频率,根据公式:频率=频数÷总数先计算出样本总人数,再分别计算出a,b,c的值;
(2)先计算出竞赛分数不低于70分的频率,根据样本估计总体的思想,计算出1000名学生中竞赛成绩不低于70分的人数;
(3)列树形图或列出表格,得到要求的所有情况和2名同学来自一组的情况,利用求概率公式计算出概率.
(1)样本人数为:8÷0.16=50(名)
a=12÷50=0.24,
70≤x<80的人数为:50×0.5=25(名)
b=50﹣8﹣12﹣25﹣3=2(名)
c=2÷50=0.04
所以a=0.24,b=2,c=0.04;
(2)在选取的样本中,竞赛分数不低于70分的频率是0.5+0.06+0.04=0.6,根据样本估计总体的思想,有:
1000×0.6=600(人)
∴这1000名学生中有600人的竞赛成绩不低于70分;
(3)成绩是80分以上的同学共有5人,其中第4组有3人,不妨记为甲,乙,丙,第5组有2人,不妨记作A,B
从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取两名同学,情形如树形图所示,共有20种情况:
抽取两名同学在同一组的有:甲乙,甲丙,乙甲,乙丙,丙甲,丙乙,AB,BA共8种情况,
∴抽取的2名同学来自同一组的概率P==
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【题目】等腰直角△ABC,△MAD中,∠BAC=∠DMA=90°,连接BM,CD.且B,M,D三点共线
(1)当点D,点M在BC边下方,CD<BD时,如图①,求证:BM+CD=AM;(提示:延长DB到点N,使MN=MD,连接AN.)
(2)当点D在AC边右侧,点M在△ABC内部时,如图②;当点D在AB边左侧,点M在△ABC外部时,如图③,请直接写出线段BM,CD,AM之间的数量关系,不需要证明;
(3)在(1),(2)条件下,点E是AB中点,MF是△AMD的角平分线,连接EF,若EF=2MF=6,则CD= .
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【题目】如图,△ABC中,∠ABC=90°,AC=25cm,BC=15cm
(1)设点P在AB上,若∠PAC =∠PCA.求AP的长;
(2)设点M在AC上.若△MBC为等腰三角形,求AM的长.
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【题目】如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC上一个动点(不与B、C重合),在AC上取E点,使∠ADE=45°.
(1)试判断△ABD与△DCE是否相似并说明理由;
(2)设BD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式;并指出当点D在BC上运动(不与B、C重合)时,AE是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,说明理由;
(3)当△ADE是等腰三角形时,求AE的长.
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【题目】已知抛物线y=ax2+bx过点A(1,4)、B(﹣3,0),过点A作直线AC∥x轴,交抛物线于另一点C,在x轴上有一点D(4,0),连接CD.
(1)求抛物线的表达式;
(2)若在抛物线上存在点Q,使得CD平分∠ACQ,请求出点Q的坐标;
(3)在直线CD的下方的抛物线上取一点N,过点N作NG∥y轴交CD于点G,以NG为直径画圆在直线CD上截得弦GH,问弦GH的最大值是多少?
(4)一动点P从C点出发,以每秒1个单位长度的速度沿C﹣A﹣D运动,在线段CD上还有一动点M,问是否存在某一时刻使PM+AM=4?若存在,请直接写出t的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知,如图△ABC和△CDE均为等边三角形,B、C、D三点在同一条直线上,连接线段BE、AD交于点F,连接CF,
(1)求证:∠FBC=∠FAC.
(2)求∠BFC的度数.
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(﹣1,0)和B(3,0),与y轴交于点C,点D的横坐标为m(0<m<3),连结DC并延长至E,使得CE=CD,连结BE,BC.
(1)求抛物线的解析式;
(2)用含m的代数式表示点E的坐标,并求出点E纵坐标的范围;
(3)求△BCE的面积最大值.
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【题目】在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE;
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系,并加以证明;
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?(请直接写出这个等量关系,不需要证明).
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【题目】如图,C为线段AE上一点(不与点A、E重合),在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE,连接AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ、OC,以下四个结论:①△BOC≌△EDO;②DE=DP;③∠AOC=∠COE;④OC⊥PQ.其中正确的结论有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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