Question

【题目】如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE=45°．

（1）试判断△ABD与△DCE是否相似并说明理由；

（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式；并指出当点D在BC上运动（不与B、C重合）时，AE是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由；

（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）△ABD与△DCE相似，理由见；（2）x=时，y有最小值，最小值为；（3）当△ADE是等腰三角形时，AE的长为2﹣或

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质及三角形内角与外角的关系，易证△ABD∽△DCE．
（2）由△ABD∽△DCE，对应边成比例及等腰直角三角形的性质可求出y与x的函数关系式，根据函数图象的顶点坐标可求出其最小值．
（3）当△ADE是等腰三角形时，因为三角形的腰和底不明确，所以应分AD=DE，AE=DE，AD=AE三种情况讨论．

解：（1）△ABD与△DCE相似

∵∠BAC=90°，AB=AC

∴∠B=∠C=∠ADE=45°

∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE

∴∠BAD=∠CDE

∴△ABD∽△DCE；

（2）由（1）得△ABD∽△DCE

∴，

∵∠BAC=90°，AB=AC=1，

∴BC=，DC=﹣x，EC=1﹣y

∴，y=x2﹣x+1=（x﹣）2+，

当x=时，y有最小值，最小值为；

（3）当AD=DE时，△ABD≌△CDE，

∴BD=CE，

∴x=1﹣y，即x﹣x2=x，

∵x≠0，

∴x=﹣1

∴AE=1﹣x=2﹣，

当AE=DE时，DE⊥AC，此时D是BC中点，E也是AC的中点，

所以，AE=；

当AD=AE时，∠DAE=90°，D与B重合，不合题意；

综上，当△ADE是等腰三角形时，AE的长为2﹣或．