Question

【题目】已知，如图△ABC和△CDE均为等边三角形，B、C、D三点在同一条直线上，连接线段BE、AD交于点F，连接CF，

（1）求证：∠FBC=∠FAC.

（2）求∠BFC的度数.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）∠BFC=60°.

【解析】

（1）根据等边三角形的性质可得∠ECD=∠ABC=60°，AC=BC，CD=CE，利用角的和差关系可得∠ACD=∠BCE，利用SAS可证明△ACD≌△BCE，根据全等三角形的性质即可得答案；（2）作CG⊥BE于G，CH⊥AD于H，由∠ACB=∠EDC=60°可得AC//ED，根据平行线的性质可得∠CAD=∠ADE，利用等量代换可得∠EBD=∠ADE，根据三角形外角性质可得∠EFD=∠EBD+∠BDF=∠ADE+∠BDF=∠BDE=60°，根据平角的定义可得∠BFD=120°，由（1）得△ACD≌△BCE，根据全等三角形对应边上的高对应相等可得CG=CH，根据角平分线的性质可得CF是∠BFD的角平分线，即可求出∠BFC的度数.

（1）∵△ABC和△CDE均为等边三角形，

∴AC=BC，∠ACB=∠ECD=60°，CD=CE，

∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，，

∴△ACD≌△BCE，

∴∠EBC=∠DAC，即∠FBC=∠FAC.

（2）∵∠ACB=∠EDC=60°，

∴AC//DE，

∴∠CAD=∠ADE，

∵∠CAD=∠EBD,

∴∠EBD=∠ADE，

∴∠EFD=∠EBD+∠BDF=∠ADE+∠BDF=∠EDB=60°，

∴∠BFD=180°-∠EFD=120°，

∵△ACD≌△BCE，CG、CH分别是对应边BE、AD的高，

∴CG=CH，

∴CF是∠BFD的角平分线，

∴∠BFC=∠BFD=60°.