【题目】二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(﹣1,4),且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点(如图),A点在y轴上,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(﹣3,0).
(1)求二次函数的表达式;
(2)点N是二次函数图象上一点(点N在AB上方),过N作NP⊥x轴,垂足为点P,交AB于点M,求MN的最大值;
(3)在(2)的条件下,点N在何位置时,BM与NC相互垂直平分?并求出所有满足条件的N点的坐标.
【答案】(1)y=﹣﹣x+1;(2);(3)当N(﹣1,4)时,BM和NC互相垂直平分.
【解析】
试题分析:方法一:
(1)首先求得A、B的坐标,然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式;
(2)设M的横坐标是x,则根据M和N所在函数的解析式,即可利用x表示出M、N的坐标,利用x表示出MN的长,利用二次函数的性质求解;
(3)BM与NC互相垂直平分,即四边形BCMN是菱形,则BC=MC,据此即可列方程,求得x的值,从而得到N的坐标.
方法二:
(1)略.
(2)求出点M,N的参数坐标,并得到MN的长度表达式,从而求出MN的最大值.
(3)因为BM与NC相互垂直平分,所以四边形BCMN为菱形,因为MN∥BC,所以只需MN=BC可得出四边形BCMN为平行四边形,再利用NC⊥BM进行求解.
方法一:
解:(1)由直线y=﹣x+1可知A(0,1),B(﹣3,),又点(﹣1,4)经过二次函数,
根据题意得:,
解得:,
则二次函数的解析式是:y=﹣﹣x+1;
(2)设N(x,﹣x2﹣x+1),
则M(x,﹣x+1),P(x,0).
∴MN=PN﹣PM
=﹣x2﹣x+1﹣(﹣x+1)
=﹣x2﹣x
=﹣(x+)2+,
则当x=﹣时,MN的最大值为;
(3)连接MC、BN、BM与NC互相垂直平分,
即四边形BCMN是菱形,
则MN=BC,且BC=MC,
即﹣x2﹣x=,
且(﹣x+1)2+(x+3)2=,
解x2+3x+2=0,得:x=﹣1或x=﹣2(舍去).
故当N(﹣1,4)时,BM和NC互相垂直平分.
方法二:
(1)略.
(2)设N(t,﹣),
∴M(t,﹣t+1),
∴MN=NY﹣MY=﹣+t﹣1,
∴MN=﹣,
当t=﹣时,MN有最大值,MN=.
(3)若BM与NC相互垂直平分,则四边形BCMN为菱形.
∴NC⊥BM且MN=BC=,
即﹣=,
∴t1=﹣1,t2=﹣2,
①t1=﹣1,N(﹣1,4),C(﹣3,0),
∴KNC==2,
∵KAB=﹣,
∴KNC×KAB=﹣1,
∴NC⊥BM.
②t2=﹣2,N(﹣2,),C(﹣3,0),
∴KNC==,KAB=﹣,
∴KNC×KAB≠﹣1,此时NC与BM不垂直.
∴满足题意的N点坐标只有一个,N(﹣1,4).
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D,点E为BC的中点,连接DE.
(1)求证:DE是半圆⊙O的切线.
(2)若∠BAC=30°,DE=2,求AD的长.
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【题目】如图,菱形ABCD的对角线的长分别为2和5,P是对角线AC上任一点(点P不与点A、C重合),且PE∥BC交AB于E,PF∥CD交AD于F,则阴影部分的面积是 .
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A. (-2,-1) B. (-1,0)
C. (-1,-1) D. (-2,0)
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【题目】如图,在⊙O中,OE垂直于弦AB,垂足为点D,交⊙O于点C,∠EAC=∠CAB.
(1)求证:直线AE是⊙O的切线;
(2)若AB=8,sin∠E=,求⊙O的半径.
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【题目】在三个内角互不相等的△ABC中,最小的内角为∠A,则在下列四个度数中,∠A最大可取( )
A. 30° B. 59° C. 60° D. 89°
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