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【题目】二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(﹣1,4),且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点(如图),A点在y轴上,过点B作BCx轴,垂足为点C(﹣3,0).

(1)求二次函数的表达式;

(2)点N是二次函数图象上一点(点N在AB上方),过N作NPx轴,垂足为点P,交AB于点M,求MN的最大值;

(3)在(2)的条件下,点N在何位置时,BM与NC相互垂直平分?并求出所有满足条件的N点的坐标.

【答案】(1)y=﹣x+1;(2)(3)当N(﹣1,4)时,BM和NC互相垂直平分.

【解析】

试题分析:方法一:

(1)首先求得A、B的坐标,然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式;

(2)设M的横坐标是x,则根据M和N所在函数的解析式,即可利用x表示出M、N的坐标,利用x表示出MN的长,利用二次函数的性质求解;

(3)BM与NC互相垂直平分,即四边形BCMN是菱形,则BC=MC,据此即可列方程,求得x的值,从而得到N的坐标.

方法二:

(1)略.

(2)求出点M,N的参数坐标,并得到MN的长度表达式,从而求出MN的最大值.

(3)因为BM与NC相互垂直平分,所以四边形BCMN为菱形,因为MNBC,所以只需MN=BC可得出四边形BCMN为平行四边形,再利用NCBM进行求解.

方法一:

解:(1)由直线y=﹣x+1可知A(0,1),B(﹣3,),又点(﹣1,4)经过二次函数,

根据题意得:

解得:

则二次函数的解析式是:y=﹣x+1;

(2)设N(x,﹣x2x+1),

则M(x,﹣x+1),P(x,0).

MN=PN﹣PM

=﹣x2x+1﹣(﹣x+1)

=﹣x2x

=﹣(x+2+

则当x=﹣时,MN的最大值为

(3)连接MC、BN、BM与NC互相垂直平分,

即四边形BCMN是菱形,

则MN=BC,且BC=MC,

即﹣x2x=

且(﹣x+1)2+(x+3)2=

解x2+3x+2=0,得:x=﹣1或x=﹣2(舍去).

故当N(﹣1,4)时,BM和NC互相垂直平分.

方法二:

(1)略.

(2)设N(t,﹣),

M(t,﹣t+1),

MN=NY﹣MY=﹣+t﹣1,

MN=

当t=﹣时,MN有最大值,MN=

(3)若BM与NC相互垂直平分,则四边形BCMN为菱形.

NCBM且MN=BC=

即﹣=

t1=﹣1,t2=﹣2,

①t1=﹣1,N(﹣1,4),C(﹣3,0),

KNC==2,

KAB=﹣

KNC×KAB=﹣1,

NCBM

②t2=﹣2,N(﹣2,),C(﹣3,0),

KNC==,KAB=﹣

KNC×KAB≠﹣1,此时NC与BM不垂直.

满足题意的N点坐标只有一个,N(﹣1,4).

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