Question

【题目】如图，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，CM为中DE边上的高，连接BE.

（1）求的度数.

（2）试证明.

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）证明见解析

【解析】

（1）首先证明△ACD≌△BCE，得出∠ADC=∠BEC，再由△DCE是等腰直角三角形得到∠CDE=∠CED=45°，因为点A、D、E在同一直线上，据此得出∠ADC=135°，∠BEC=135°，于是∠AEB=∠BEC∠CED=90°；

（2）由（1）可得△ACD≌△BCE(SAS)，所以CD=CE，AD=BE，∠CDE=45°，然后进一步证明CM=DM，从而得出DE=2DM=2CM，最后证明结论即可.

（1）∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD与△BCE中，

∵CA=BC，∠ACD=∠BDE，CD=CE，

∴△ACD≌△BCE(SAS)，

∴∠ADC=∠BEC，AD=BE，

∵△DCE为等腰直角三角形，

∴∠CED=∠CDE=45°，

∵点A、D、E在同一战线上，

∴∠ADC=135°，

∴∠BEC=135°，

∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°.

（2）由（1）可得△ACD≌△BCE(SAS)，

∴CD=CE，AD=BE，∠CDE=45°，

∵CD⊥DE，CD=CE，

∴2DM=DE，∠CMD=90°，

∵∠CDE=45°，

∴∠DCM=180°-∠CMD-∠CDE=45°，

∴∠DCM=∠CDE，

∴CM=DM，

∴DE=2DM=2CM,

∴AE=AD+DE=BE+2CM.