Question

已知：如图，在△ABC中，BC=AC=6，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：点D是AB的中点；
（2）求点O到直线DE的距离．

Answer 1

考点：圆周角定理,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）连接CD，由BC为直径可知CD⊥AB，又因为BC=AC，由等腰三角形的底边“三线合一”证明结论；
（2）连接OD，则OD为△ABC的中位线，OD∥AC，已知DE⊥AC，可证DE⊥OC，即可知OD的长即为点O到直线DE的距离．

解答：（1）证明：连接CD，
∵BC是圆的直径，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB，
又∵AC=BC，
∴AD=BD，
即点D是AB的中点；

（2）证明：连接OD，
∵AD=BD，OB=OC，
∴DO是△ABC的中位线，
∴DO∥AC，OD=

1

2

AC=

1

2

×6=3，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥DO，
∴点O到直线DE的距离为3．

点评：此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．