Question

10．如图，在△ABC中，AB=CA，∠CAB=90°，F为BA延长线上一点，点E在线段AC上，
（1）请你补充一个条件，使△ABE≌△ACF，并证明；
（2）在（1）的条件下，判断CF与BE的位置关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件知△ABE和△ACF中，已有∠BAE=∠CAF=90°、AB=CA，若要△ABE≌△ACF，可根据SAS添加AE=AF、根据ASA添加∠ACF=∠ABE、根据AAS添加∠AEB=∠AFC、根据HL添加BE=CF等；
（2）判断CF与BE的位置关系通常证垂直或平行，这里显然证垂直，通过延长BE交CF于点D，只需证∠BDF=90°即∠ABE+∠AFC=90°即可，由（1）可得∠AFC=∠AEB且∠AEB+∠ABE=90°，从而得证．

解答 解：（1）当AE=AF时，△ABE≌△ACF．
∵∠CAB=90°，
∴∠BAE=∠CAF=90°，
在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（SAS）；
（2）CF⊥BE，
如图，延长BE交CF于点D，

∵△ABE≌△ACF，
∴∠AEB=∠AFC，
又∵∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠AFC+∠ABE=90°，
∴∠BDF=90°，即BD⊥CF，
故BE⊥CF．

点评 本题主要考查全等三角形的判定与性质及两直线的位置关系，熟练掌握全等三角形的判定是关键，了解两直线的几种位置关系是基础．