Question

8．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，BE⊥CD，垂足为E，连接AC、BC．
（1）求证：BC平分∠ABE；
（2）若∠ABC=30°，OA=4，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）利用切线的性质首先得出∠OCB=∠CBE，进而得出∠CBE=∠OBC即可求出BC平分∠ABE；
（2）过A做CF⊥AB于F由AB是⊙O的直径得到∠ACB=90°由于∠ABC=30°得到∠A=60°于是得到AC=$\frac{1}{2}$AB=OA=4在Rt△ACF中，∠A=60°，根据$\frac{CF}{AC}=sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，求出CF=AC•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，再由角平分线的性质即可得到结果．

解答 证明：（1）∵CD是⊙O切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCB+∠BCE=90°，
∵BE⊥CD，
∴∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠OCB=∠CBE，
又∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠CBE=∠OBC，
即BC平分∠ABE；

（2）过A做CF⊥AB于F，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=30°，
∴∠A=60°
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=OA=4，
在Rt△ACF中，∠A=60°，
∴$\frac{CF}{AC}=sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴CF=AC•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∵BC平分∠ABE，CF⊥AB，
∵CE⊥BE，
∴CE=CF=2$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数，根据切线的性质得出∠OCB=∠CBE是解题关键．