Question

3．如图，正方形ABCD的边长是10，点G是CD边上任意一点，AE⊥BG于点E，CF⊥BG于点F，AE=8．
（1）求证：BE=CF；
（2）求EF的长．

Answer 1

分析 （1）欧正方形的性质得出AB=BC，∠ABC=90°，得出∠1+∠3=90°，再证出∠2=∠3，由AAS证明△ABE≌△BCF，得出对应边相等即可；
（2）先由勾股定理求出BE，再由△ABE≌△BCF，得出对应边相等BF=AE=8，即可求出EF的长．

解答 （1）证明：如图所示：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵AE⊥BG，CF⊥BG，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3，
在△ABE和△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠3}&{\;}\\{∠AEB=∠BFC}&{\;}\\{AB=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴BE=CF；
（2）解：在Rt△ABE中，AB=10，AE=8，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∵△ABE≌△BCF，
∴BF=AE=8，
∴EF=BF-BE=8-6=2．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．