【题目】如图,正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,△AEF是等边三角形,连接AC交EF于点G,下列结论:①CE=CF,②∠AEB=75°,③AG=2GC,④BE+DF=EF,⑤S△CEF=2S△ABE , 其中结论正确的个数为( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
【答案】B
【解析】解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°.
∵△AEF等边三角形,
∴AE=EF=AF,∠EAF=60°.
∴∠BAE+∠DAF=30°.
在Rt△ABE和Rt△ADF中,
,
Rt△ABE≌Rt△ADF(HL),
∴BE=DF,
∴CE=CF,故①正确;
∵∠BAE=∠DAF,
∴∠DAF+∠DAF=30°,
即∠DAF=15°,
∴∠AEB=75°,故②正确;
设EC=x,由勾股定理,得
EF= x,CG= x,
AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°= x,
∴AG≠2GC,③错误;
∵CG= x,AG= x,
∴AC= x
∴AB=AC = x,
∴BE= x﹣x= x,
∴BE+DF=( ﹣1)x,
∴BE+DF≠EF,故④错误;
∵S△CEF= x2 ,
S△ABE= ×BE×AB= × x× x= x2 ,
∴2S△ABE═S△CEF , 故⑤正确.
综上所述,正确的有3个,
故选:B.
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【题目】如图①,把∠α=60°的一个单独的菱形称作一个基本图形,将此基本图形不断的复制并平移,使得下一个菱形的一个顶点与前一个菱形的中线重合,这样得到图②,图③,…
(1)观察以上图形并完成下表:
图形名称 | 基本图形的个数 | 菱形的个数 |
图① | 1 | 1 |
图② | 2 | 3 |
图③ | 3 | 7 |
图④ | 4 | |
… | … | … |
猜想:在图(n)中,菱形的个数为(用含有n(n≥3)的代数式表示);
(2)如图,将图(n)放在直角坐标系中,设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为(x1 , 1),则x1=;第2017个基本图形的中心O2017的坐标为 .
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【题目】如图1,ABCD为正方形,直线MN分别过AD边与BC边的中点,点P为直线MN上任意一点,连接PB、PC分别与AD边交于E、F两点,PC与BD交于点K,连接AK与PB交于点G.
(1)探索发现
当点P落在AD边上时,如图2,试探究PB与AK的位置关系以及PB、PK、AK三者的数量关系(直接写出无需证明);
(2)延伸拓展
当点P落在正方形外,如图1,以上两个结论是否仍然成立?如果成立请给出证明,如果不成立请说明你的理由;
(3)应用推广
如图3,在等腰Rt△ABD中,其中∠BAD=90°,腰长为3,M、N分别为AD边与BD边的中点,K为线段DN中点,F为AD边上靠近于D的三等分点.连接KF并延长与直线MN交于点P,连接PB分别与AD、AK交于点E、G.试求四边形EFKG的周长及面积.
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【题目】已知:如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,AD平分∠BAC交BC于D.
(1)用尺规画圆O,使圆O过A、D两点,且圆心O在边AC上.(保留作图痕迹,不写作法)
(2)求证:BC与圆O相切;
(3)设圆O交AB于点E,若AE=2,CD=2BD.求线段BE的长和弧DE的长.
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【题目】已知抛物线y1=ax2﹣4ax+3(a≠0)与y轴交于点A,A、B两点关于对称轴对称,直线OB分别与抛物线的对称轴相交于点C.
(1)直接写出对称轴及B点的坐标;
(2)已知直线y2=bx﹣4b+3(b≠0)与抛物线的对称轴相交于点D. ①判断直线y2=bx﹣4b+3(b≠0)是否经过点B,并说明理由;
②若△BDC的面积为1,求b的值.
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【题目】如图在平面直角坐标系xOy中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(﹣2,4),B(﹣2,1),C(﹣5,2).
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;
(2)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐同时乘以﹣2,得到对应的点A2 , B2 , C2 , 请画出△A2B2C2;
(3)则S△A1B1C1:S△A2B2C2 .
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【题目】如图在平面直角坐标系xOy中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(﹣2,4),B(﹣2,1),C(﹣5,2).
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;
(2)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐同时乘以﹣2,得到对应的点A2 , B2 , C2 , 请画出△A2B2C2;
(3)则S△A1B1C1:S△A2B2C2 .
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【题目】如图(1),抛物线y=﹣ x2+x+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点A的坐标为(﹣2,0).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)①若点D是第一象限内抛物线上的一个动点,过点D作DE⊥x轴于E,连接CD,以OE为直径作⊙M,如图(2),试求当CD与⊙M相切时D点的坐标;
②点F是x轴上的动点,在抛物线上是否存在一点G,使A、C、G、F四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,⊙M过原点O,与x轴交于A(4,0),与y轴交于B(0,3),点C为劣弧AO的中点,连接AC并延长到D,使DC=4CA,连接BD.
(1)求⊙M的半径;
(2)证明:BD为⊙M的切线;
(3)在直线MC上找一点P,使|DP﹣AP|最大.
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