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【题目】如图1,ABCD为正方形,直线MN分别过AD边与BC边的中点,点P为直线MN上任意一点,连接PB、PC分别与AD边交于E、F两点,PC与BD交于点K,连接AK与PB交于点G.

(1)探索发现
当点P落在AD边上时,如图2,试探究PB与AK的位置关系以及PB、PK、AK三者的数量关系(直接写出无需证明);
(2)延伸拓展
当点P落在正方形外,如图1,以上两个结论是否仍然成立?如果成立请给出证明,如果不成立请说明你的理由;
(3)应用推广
如图3,在等腰Rt△ABD中,其中∠BAD=90°,腰长为3,M、N分别为AD边与BD边的中点,K为线段DN中点,F为AD边上靠近于D的三等分点.连接KF并延长与直线MN交于点P,连接PB分别与AD、AK交于点E、G.试求四边形EFKG的周长及面积.

【答案】
(1)

解:PB⊥AK,PB=PK+AK;

理由:如图2中,

∵点P在MN上,根据对称性易得∠PBC=∠2且PB=PC,

又∠ABK=∠CBK=45°,

在△BKA和△BKC中,

∴△ABK≌△CBK,

∴∠2=∠3且AK=CK,

∴∠PBC=∠3.

又∠PBC+∠4=90°,

∴∠3+∠4=90°,

即PB⊥AK.

∴PB=PC=PK+CK=PK+AK.


(2)

以上两个结论仍然成立,

理由如下:如图1中,

∵点P在MN上,根据对称性易得∠PBC=∠2且PB=PC,

又∠ABK=∠CBK=45°,

在△BKA和△BKC中,

∴△ABK≌△CBK,

∴∠2=∠3且AK=CK,

∴∠PBC=∠3.

又∠PBC+∠4=90°,

∴∠3+∠4=90°,

即PB⊥AK.

∴PB=PC=PK+CK=PK+AK.


(3)

如图3中,过点B作AD的平行线交PK延长线与点C,连接CD.

∵FD∥BD,

∴△FDK∽△CBK.

又DK:BK=1:3,

∴FD:BC=1:3.

∵FD:AD=1:3,

∴BC=AD.

∵BC∥AD且AB⊥AD且AB=AD,

∴四边形ABCD为正方形.

∵PB=PK+AK,

即(PE+BE)=(PF+FK)+AK,又PE=PF,

∴BE=FK+AK.

在Rt△EAB中,∵AE=1,AB=3,

∴BE= =

∵AG⊥BE(上一问结论),

∵Rt△AGE∽Rt△BGA,且相似比为1:3,

设EG=t,AG=3t,BG=9t,

∴BE=10t=

∴四边形EFKG的周长=EF+FK+GK+EG=EF+(FK+AK)﹣AG+EG

=EF+BE﹣AG+EG=1+10t﹣3t+t=1+8t=

过点K作AD垂线,垂足为H,

∵HK∥AB且DK:DB=1:4,

∴KH= AB=

∴S四边形EFGH=SAFK﹣SAEG= AFKH﹣ AGEG= 2 3tt=


【解析】●探索发现 PB⊥AK,PB=PK+AK,只要证明∠3=∠4=90°即可证明PB⊥AK,由△ABK≌△CBK,结合PB=PC即可解决问题.
●延伸拓展 以上两个结论仍然成立,证明方法类似上面.
●应用推广 如图3中,过点B作AD的平行线交PK延长线与点C,连接CD,利用上面结论结合条件即可解决问题.
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的应用的相关知识,掌握测高:测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决;测距:测量不能到达两点间的举例,常构造相似三角形求解.

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