Question

如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F．
（1）求证：∠ABC=2∠CAF；
（2）若AC=2

10

，CE：EB=1：4，求CE，AF的长．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理,解直角三角形

专题：

分析：（1）首先连接BD，由AB为直径，可得∠ADB=90°，又由AF是⊙O的切线，易证得∠CAF=∠ABD．然后由BA=BC，证得：∠ABC=2∠CAF；
（2）首先连接AE，设CE=x，由勾股定理可得方程：（2

10

）²=x²+（3x）²．然后由tan∠ABF=

AE

EB

=

AF

BA

，求得答案．

解答：（1）证明：如图，连接BD．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°．
∵AF是⊙O的切线，
∴∠FAB=90°，
即∠DAB+∠CAF=90°．
∴∠CAF=∠ABD．
∵BA=BC，∠ADB=90°，
∴∠ABC=2∠ABD．
∴∠ABC=2∠CAF．

（2）解：如图，连接AE．
∴∠AEB=90°．
设CE=x，
∵CE：EB=1：4，
∴EB=4x，BA=BC=5x，AE=3x．
在Rt△ACE中，AC²=CE²+AE²．
即（2

10

）²=x²+（3x）²．
∴x=2．
∴CE=2，
∴EB=8，BA=BC=10，AE=6．
∵tan∠ABF=

AE

EB

=

AF

BA

．
∴

6

8

=

AF

10

．
∴AF=

15

2

．

点评：此题考查了切线的性质、三角函数以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．