Question

17．如图，△ABC中，∠BAC=120°，AB=8，AC=6，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于E，则DE=$\frac{12\sqrt{3}}{7}$．

Answer 1

分析 过B作BM⊥AD交AD的延长线于M，过C作CN⊥AD与N，根据已知条件得到∠BAD=∠CAD=60°，根据三角形的内角和得到∠ABM=∠ACN=30°，解直角三角形得到AM=$\frac{1}{2}$AB=4，AN=$\frac{1}{2}$AC=3，MB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=4$\sqrt{3}$，CN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC=3$\sqrt{3}$，求得MN=1，根据相似三角形的性质得到$\frac{DM}{DN}=\frac{BM}{CN}=\frac{4}{3}$，求得DN=$\frac{3}{7}$，得到AD=$\frac{24}{7}$，然后根据直角三角形的性质即可得到结论．

解答 解：过B作BM⊥AD交AD的延长线于M，过C作CN⊥AD与N，
∵∠BAC=120°，AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=60°，
∴∠ABM=∠ACN=30°，
∵AB=8，AC=6，
∴AM=$\frac{1}{2}$AB=4，AN=$\frac{1}{2}$AC=3，MB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=4$\sqrt{3}$，CN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC=3$\sqrt{3}$，
∴MN=1，
∵∠AMB=∠ANC=90°，∠BDM=∠CDN，
∴△BDM∽△CDN，
∴$\frac{DM}{DN}=\frac{BM}{CN}=\frac{4}{3}$，
∴DN=$\frac{3}{7}$，
∴AD=$\frac{24}{7}$，
∵DE⊥AB于E，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE=30°，
∴DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD=$\frac{12\sqrt{3}}{7}$．
故答案为：$\frac{12\sqrt{3}}{7}$．

点评 本题考查了含30°角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．