Question

2．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，图象与x轴交于A（x₁，0）B（x₂，0）两点，点M（x₀，y₀）是图象上另一点，且x₀＞1．现有以下结论：①abc＞0；②b＜2a；③a+b+c＞0；④a（x₀-x₁）（x₀-x₂）＜0．
其中正确的结论是①、④．（只填写正确结论的序号）

Answer 1

分析 由抛物线的开口方向可确定a的符号，由抛物线的对称轴相对于y轴的位置可得a与b之间的符号关系，由抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号；根据抛物线的对称轴与x=-1的大小关系可推出2a-b的符号；由于x=1时y=a+b+c，因而结合图象，可根据x=1时y的符号来确定a+b+c的符号，根据a、x₀-x₁、x₀-x₂的符号可确定a（x₀-x₁）（x₀-x₂）的符号．

解答 解：由抛物线的开口向下可得a＜0，
由抛物线的对称轴在y轴的左边可得x=-$\frac{b}{2a}$＜0，则a与b同号，因而b＜0，
由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可得c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
由抛物线的对称轴x=-$\frac{b}{2a}$＞-1（a＜0），可得-b＜-2a，即b＞2a，故②错误；
由图可知当x=1时y＜0，即a+b+c＜0，故③错误；
∵a＜0，x₀-x₁＞0，x₀-x₂＞0，∴a（x₀-x₁）（x₀-x₂）＜0，故④正确．
综上所述：①、④正确．
故答案为①、④．

点评 本题主要考查二次函数图象与系数的关系，其中a决定于抛物线的开口方向，b决定于抛物线的开口方向及抛物线的对称轴相对于y轴的位置，c决定于抛物线与y轴的交点位置，2a与b的大小决定于a的符号及-$\frac{b}{2a}$与-1的大小关系，运用数形结合的思想准确获取相关信息是解决本题的关键．