Question

10．如图，直角坐标系中，已知点A（2，3），线段AB垂直于Y轴，垂足为B，将线段AB绕点A逆时针方向旋转90度，点B落在点C处，直线BC与x轴交于点D．
（1）点C的坐标是（2，1），点D的坐标是（3，0）．
（2）试求出经过A、B、D三点的抛物线的表达式，以及顶点E的坐标．
（3）点F在（2）中抛物线的对称轴上，使以点A E F为顶点的三角形与三角形ACD相似．请求出此时F点的坐标．

Answer 1

分析 （1）C点坐标直接写出，再求出直线BC解析式，进而求出D点坐标；
（2）待定系数法直接求出即可；
（3）分两种情况，分别利用相似比计算即可；

解答 （1）C点的坐标为（2，1），
∵B（0，3），
∴BC的解析式为y=x+3，
∴D（3，0）；
（2）设抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c，
将A、B、D三点的坐标代入y=ax²+bx+c得：$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+c=3}\\{c=3}\\{9a+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：a=-1，b=2，c=3，
∴y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴E（1，4）；
（3）如图：延长AC交x轴于点H，抛物线对称轴与AB交于点G，
∵C（2，1），D（3，0）
∴CH=DH=1，CD=$\sqrt{2}$，
∵E（1，4），A（2，3），
∴AE=$\sqrt{2}$，∠AEG=45°

①若△ACD∽△FEA，则$\frac{FE}{AC}=\frac{AE}{CD}=1$，（全等看作是相似的特殊情况）
∴EF=AC=2，
∴F（1，6）；
②若△ACD∽△AEF，则
$\frac{EF}{AE}=\frac{CD}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴EF=1，
∴F（1，5）；
综上所述，满意足要求的F点坐标为（1，6），（1，5）．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质等知识点，难度不大．第（3）问当中，注意到∠AEG=∠DCH=45°，这样F点就只能在E点的上方，然后根据对应边的不同，分两种情况建立线段比例关系．