Question

15．已知平行四边形ABCD的面积为1，K、L、M、N分别是边AB、BC、CD、DA的中点，由AL、AM、BN、BM、CK、CN、DK、DL围成的八边形EGPHFTQR，八边形EGPHFTQR的面积为多少？

Answer 1

分析 连接AC、BD、KM、NL交于点O，将八边形面积分成8块面积相等的小三角形面积，求出一块，再乘以8即可．

解答 解：如图：

连接AC与BD交点点O，连接KM、NL，
由于K、L、M、N分别为平行四边形ABCD四边的中点，
则A、R、O、H、C共线，B、G、O、T、D共线，K、E、O、F、M共线，N、Q、O、P、L共线，
八边形EGPHFTQR的面积八块小三角形面积，
易知Q为ON中点，
∴${S}_{△ORQ}=\frac{1}{2}{S}_{△ORN}$，
∵R是△ABD的重心，
∴$\frac{AR}{RO}=\frac{2}{1}$，
∴${S}_{△ORN}=\frac{1}{3}{S}_{△OAN}$，
∵${S}_{△OAN}=\frac{1}{8}{S}_{平行四边形ABCD}$，
∴${S}_{△ORN}=\frac{1}{24}{S}_{平行四边形ABCD}$，
∴${S}_{△ORQ}=\frac{1}{48}{S}_{平行四边形ABCD}$，
同理可证剩下7个小三角形的面积也是平行四边形面积的$\frac{1}{48}$，
∴${S}_{八边形EGPHFTQR}=\frac{1}{48}×1×8$=$\frac{1}{6}$．

点评 本题主要考查等积变换，难度适中．对于两个三角形：若高相等，则面积之比等于底之比；若底相同，则面积之比等于高之比；等底等高的两个三角形面积相等．明白这些原理外加三角形重心性质是解决本题的关键．