如图.过点F(0.1)的直线y=kx+b与抛物线y=$\frac{1}{4}$x2交于M(x1.y1)和N(x2.y2)两点(其中x1＜0.x2＞0)．(1)求b的值,(2)当k=1时.求点M.N的坐标,(3)分别过点M.N作直线l:y=-1的垂线.垂足分别是M1.N1.探究当k=1时.△NFN1与△M1FN1.各是什么特殊三角形?请说明理由.并猜想:这个结论对任意k的值都� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

3．

如图，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线y=$\frac{1}{4}$x²交于M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）两点（其中x₁＜0，x₂＞0）．
（1）求b的值；
（2）当k=1时，求点M，N的坐标；
（3）分别过点M、N作直线l：y=-1的垂线，垂足分别是M₁，N₁，探究当k=1时，△NFN₁与△M₁FN₁，各是什么特殊三角形？请说明理由，并猜想：这个结论对任意k的值都成立么？（直接写出结论即可）．

分析（1）根据直线y=kx+b经过点F（0，1）即可得到b的值；
（2）联立两方程，求出x的值，进而求出y的值，即可求出点M和点N的坐标；
（3）设直线y=kx+b与抛物线y=$\frac{1}{4}$x²交于M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）两点，分别用x₁和x₂表示出NF²和NN₁²，FM₁²、FN₁²和M₁N₁²，据此可以作出判断．

解答解：（1）∵直线y=kx+b经过点F（0，1），
∴b=1；
（2）当k=1时，直线y=x+1，
根据题意可知：$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\end{array}\right.$，
即$\frac{1}{4}$x²=x+1，
解得x₁=-2$\sqrt{2}$+2，x₂=2$\sqrt{2}$+2，
当x=-2$\sqrt{2}$+2时，y=-2$\sqrt{2}$+3，即点M坐标为（-2$\sqrt{2}$+2，-2$\sqrt{2}$+3），
当x=2$\sqrt{2}$+2时，y=2$\sqrt{2}$+3，即点N的坐标为（2$\sqrt{2}$+2，2$\sqrt{2}$+3）；
（3）当k=1时，△NFN₁是等腰三角形；△M₁FN₁是直角三角形；
设直线y=kx+b与抛物线y=$\frac{1}{4}$x²交于M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）两点，
∴可以得出：kx+b=$\frac{1}{4}$x²，
整理得：$\frac{1}{4}$x²-kx-1=0，
∵a=$\frac{1}{4}$，c=-1，
∴x₁•x₂=-4，
△NFN₁是等腰三角形，
理由是：NF²=x₂²+（y₂-1）²=x₂²+y₂²-2y₂+1=y₂²+$\frac{1}{2}$x₂²+1，
NN₁²=（y₂+1）²=y₂²+2y₂+1=y₂²+$\frac{1}{2}$x₂²+1，
故NF²=NN₁²，
即△NFN₁是等腰三角形；
△M₁FN₁是直角三角形（F点是直角顶点）．
理由如下：设直线l与y轴的交点是F₁，
FM₁²=FF₁²+M₁F₁²=x₁²+4，
FN₁²=FF₁²+F₁N₁²=x₂²+4，
M₁N₁²=（x₁-x₂）²=x₁²+x₂²-2x₁x₂=x₁²+x₂²+8，
∴FM₁²+FN₁²=M₁N₁²，
∴△M₁FN₁是以F点为直角顶点的直角三角形．

点评本题主要考查了二次函数综合题，用到的知识点有一元二次方程根与系数的关系、等腰三角形的判定、直角三角形的判定以及勾股定理等知识，解答（3）问关键是分别用用x₁和x₂表示出NF²和NN₁²，FM₁²、FN₁²和M₁N₁²，题目的综合性不小，对学生解题能力的要求也很高．

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