Question

2．定义一种变换：平移抛物线F₁得到抛物线F₂，使F₂经过F₁的顶点A．设F₂的对称轴分别交F₁、F₂于点D、B，点C是点A关于直线BD的对称点．
（1）如图1，若F₁：y=x²，经过变换后，得到F₂：y=x²+bx，点C的坐标为（2，0），则：
①b的值等于-2；②四边形ABCD的面积为2；
（2）如图2，若F₁：y=ax²+c，经过变换后，点B的坐标为（2，c-1），求出△ABD的面积；
（3）如图3，若F₁：y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+$\frac{7}{3}$，经过变换后，AC=2$\sqrt{3}$，点P是直线AC上的动点，则点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）①根据图象上的点满足函数解析式，可得b的值；②根据自变量与函数值的对应关系，可得B、D的坐标，根据四边形的面积是对角线乘积的一半，可得答案；
（2）根据平移规律，可得顶点式解析式y=a（x-2）²+c-1，根据待定系数法，可得a的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得D点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；
（3）根据配方法，可得顶点坐标A，根据AC的距离，可得C点坐标，根据待定系数法，可得F₂，根据菱形的判定，可得ABCD的形状，根据线段垂直平分线的性质，可得PB与PD的关系，根据点到直线的距离，可得P在过B垂直AD的线段上，根据等边三角形的判定与性质，可得答案．

解答 解：（1）当x=2时，2²+2b=0，解得b=-2，
F₂的解析式为y=x²-2x=（x-1）²-1，即B点坐标为（1，-1），
当x=1时，y=1²=1，即D（1，1），
BD=1-（-1）=2，AC=2．
S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
故答案为：-2，2；
（2）y=ax²+c的顶点A坐标是（0，c）．
∵F₂的解析式为y=a（x-2）²+c-1，而A（0，c）在F₂上，得
a=$\frac{1}{4}$．
当x=2时，y=1+c，即D（2，1+c），
∴DB=（1+c）-（c-1）=2，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$×2×2=2．
（3）当点C在点A的右侧时（如图1），
设AC与BD交于点N，抛物线y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x+$\frac{7}{3}$，配方得y=$\frac{1}{3}$（x-1）²+2，
其顶点坐标是A（1，2），
∵AC=2$\sqrt{3}$，
∴点C的坐标为（1+2$\sqrt{3}$，2）．
∵F₂过点A，
∴F₂解析式为y=$\frac{1}{3}$（x-1-$\sqrt{3}$）²+1，
∴B（1+$\sqrt{3}$，1），
∴D（1+$\sqrt{3}$，3），
∴NB=ND=1，
∵点A与点C关于直线BD对称，
∴AC⊥DB，且AN=CN
∴四边形ABCD是菱形．∴PD=PB．
作PH⊥AD交AD于点H，则PD+PH=PB+PH．
要使PD+PH最小，即要使PB+PH最小，
此最小值是点B到AD的距离，即△ABD边AD上的高h．
∵ND=1，AN=$\sqrt{3}$，DB⊥AC，∴∠DAN=30°，
故△ABD是等边三角形．
∴h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD=$\sqrt{3}$，
∴最小值为$\sqrt{3}$．
当点C在点A的左侧时（如图2），同理，最小值为$\sqrt{3}$．
综上，点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值为$\sqrt{3}$．
，
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题，利用对角线互相垂直的四边形的面积是对角线乘积的一半是解题关键；利用了菱形的判定与性质，利用线段垂直平分线的性质得出PB与PD的关系是解题关键，又利用了垂线段的性质，等边三角形的性质．