Question

5．在△ABC中，AB=AC，点D为射线CB上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E作EF∥BC，交直线AC于点F，连接CE．
（1）如图①，若∠BAC=60°，则按边分类：△CEF是等边三角形；
（2）若∠BAC＜60°．
①如图②，当点D在线段CB上移动时，判断△CEF的形状并证明；
②当点D在线段CB的延长线上移动时，△CEF是什么三角形？请在图③中画出相应的图形并直接写出结论（不必证明）．

Answer 1

分析 （1）根据题意推出∠ACB=∠ABC=60°，然后通过求证△EAC≌△DAB，结合平行线的性质，即可推出△EFC为等边三角形；
（2）①根据（1）的推理方法，即可推出△EFC为等腰三角形；②根据题意画出图形，然后根据平行线的性质，通过求证△EAC≌△DAB，推出等量关系，即可推出△EFC为等腰三角形．

解答 解：（1）如图1，∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠ACB=∠ABC=60°，∠EAC=∠DAB，
∴△DAB≌△EAC，
∴∠ECA=∠B=60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFC=∠ACB=60°，
∵在△EFC中，∠EFC=∠ECF=60°=∠CEF，
∴△EFC为等边三角形，
故答案为：等边；

（2）①△CEF为等腰三角形，
证明：如图2，∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，
∴∠ACB=∠ABC，∠EAC=∠DAB，
∴△EAC≌△DAB，
∴∠ECA=∠B，
∴∠ACE=∠ACB，
∵EF∥BC，
∴∠EFC=∠ACB，
∴∠EFC=∠ACE，
∴CE=FE，
∴△EFC为等腰三角形；

②如图③，△EFC为等腰三角形．
当点D在BC延长线上时，以AD为一边在AD的左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E作BC的平行线EF，交直线AC的延长线于点F，连接DE．
证明：∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，
∴∠ACB=∠ABC，∠EAC=∠DAB，
∴△EAC≌△DAB，
∴∠ECA=∠DBA，
∴∠ECF=∠ABC，
∵EF∥BC，
∴∠AFE=∠ACB，
又∵∠ABC=∠ACB，
∴∠AFE=∠ECF，
∴EC=EF，
∴△EFC为等腰三角形．

点评 本题主要考查等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及平行线的性质的综合应用，解题的关键在于根据题意画出图形，通过求证三角形全等，推出等量关系，根据等量代换推出结论．