Question

【题目】如图，矩形中，，，是边上一点，连接，将沿翻折，点的对应点是，连接，当是直角三角形时，则的值是________

Answer 1

【答案】3或6

【解析】

分两种情况讨论：①当∠AFE＝90°时，易知点F在对角线AC上，设DE＝x，则AE、EF均可用x表示，在Rt△AEF中利用勾股定理构造关于x的方程即可；②当∠AEF＝90°时，易知F点在BC上，且四边形EFCD是正方形，从而可得DE＝CD．

解：当E点与A点重合时，∠EAF的角度最大，但∠EAF小于90°，

所以∠EAF不可能为90°，

分两种情况讨论：

①当∠AFE＝90°时，如图1所示，

根据折叠性质可知∠EFC＝∠D＝90°，

∴A、F、C三点共线，即F点在AC上，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝，

∴AF＝ACCF＝ACCD＝106＝4，

设DE＝x，则EF＝x，AE＝8x，

在Rt△AEF中，利用勾股定理可得AE2＝EF2＋AF2，

即（8x）2＝x2＋42，

解得x＝3，即DE＝3；

②当∠AEF＝90°时，如图2所示，则∠FED＝90°，

∵∠D＝∠BCD＝90°，DE＝EF，

∴四边形EFCD是正方形，

∴DE＝CD＝6，

故答案为：3或6．