Question

（本题满分12分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB=90°，点D为△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．

（1）求证：DE平分∠BDC；

（2）若点M在DE上，且DC=DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明.

Answer 1

（1）见解析；（2）ME=BD

【解析】

试题分析：（1）因为在△ABC中，AC＝BC，∠ACB=90°，∠CAD=∠CBD=15°，所以∠BCD=∠ACD=45°，∠BAD=∠ABD=30°，所以根据三角形外角的性质可得∠CDE=∠BDE=60°；（2）ME=BD，连结MC，只需要证明△BDC≌△EMC即可.

试题解析：（1）证明：

∵AC＝BC

∴∠CBA=∠CAB

又∵∠ACB=90°

∴∠CBA=∠CAB=45°

又∵∠CAD=∠CBD=15°

∴∠DBA=∠DAB=30°

∴∠BDE=30°＋30°＝60°

又易证得△ADC≌△BDC

得∠ACD=∠BCD=45°

由外角得∠CDE=60°

得∠CDE=∠BDE=60°

所以DE平分∠BDC

（此小题证明方法不唯一，请参照给分）

（2）答：ME=BD

证明：连结MC

因为DC=DM, ∠CDE=60°，所以 △MCD为等边三角形

所以CM=CD,又EC=CA,且∠EMC=120°，所以∠ECM=∠BCD=45°，所以△BDC≌△EMC

所以ME=BD

考点：1.等腰三角形的判定与性质；2.三角形的外角的性质；3.等边三角形的判定与性质；4.全等三角形的判定与性质.