Question

7．如图，在锐角△ABC中，AC是最短边，以AC的中点O为圆心，$\frac{1}{2}$AC长为半径作⊙O，交BC于点E，过O作OD∥BC交⊙O于点D，连结AE、AD、DC．
（1）求证：D是$\widehat{AE}$的中点；
（2）求证：∠DAO=∠B+∠BAD；
（3）若$\frac{{S}_{△CEF}}{{S}_{△OCD}}$=$\frac{1}{2}$，且AC=6，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理，由AC为直径得到∠AEC=90°，由于OD∥BC，根据平行线的性质得OD⊥AE，则根据垂径定理得$\widehat{AD}$=$\widehat{DE}$；
（2）延长DO交AB于G点，如图，根据平行线性质得∠OGA=∠B，再利用三角形外角性质有∠ODA=∠DGA+∠GAD，加上∠DAO=∠ODA，于是得到∠DAO=∠B+∠BAD；
（3）作OH⊥CD于H，如图，根据垂径定理得到CH=DH，则利用三角形面积公式得S_△OCH=$\frac{1}{2}$S_△ODC，由$\frac{{S}_{△CEF}}{{S}_{△OCD}}$=$\frac{1}{2}$得S_△OCH=S_△CEF，再根据圆周角定理，由$\widehat{AD}$=$\widehat{DE}$得到∠ACD=∠ECD，于是可判断Rt△CEF∽Rt△CHO，根据相似三角形的性质得$\frac{{S}_{△CEF}}{{S}_{△CHO}}$=（$\frac{CF}{CO}$）²=1，所以CF=CO=3．

解答 （1）证明：∵AC为直径，
∴∠AEC=90°，
∴AE⊥BC，
∵OD∥BC，
∴OD⊥AE，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{DE}$，
∴D是$\widehat{AE}$的中点；

（2）证明：延长DO交AB于G点，如图，
∵OG∥BC，
∴∠OGA=∠B，
∵∠ODA=∠DGA+∠GAD，
∴∠ODA=∠B+∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ODA，
∴∠DAO=∠B+∠BAD；

（3）解：作OH⊥CD于H，如图，则CH=DH，
∴S_△OCH=$\frac{1}{2}$S_△ODC，
∵$\frac{{S}_{△CEF}}{{S}_{△OCD}}$=$\frac{1}{2}$，
∴S_△OCH=S_△CEF，
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{DE}$，
∴∠ACD=∠ECD，
∴Rt△CEF∽Rt△CHO，
∴$\frac{{S}_{△CEF}}{{S}_{△CHO}}$=（$\frac{CF}{CO}$）²=1，
∴CF=CO=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×6=3．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握平行线的性质、垂径定理和圆周角定理；会运用相似三角形的判定与性质判断线段之间的关系．