Question

（2013年广东梅州8分）如图，在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB与点E，且CF=AE，

（1）求证：四边形BECF是菱形；
（2）若四边形BECF为正方形，求∠A的度数．

Answer 1

解：（1）证明：∵EF垂直平分BC，∴CF=BF，BE=CE，∠BDE=90°，BD=CD。
又∵∠ACB=90°，∴EF∥AC。∴BE：AB=DB：BC。
∵D为BC中点，∴DB：BC=1：2。∴BE：AB=1：2。∴E为AB中点，即BE=AE。
∵CF=AE，∴CF=BE。
∴CF=FB=BE=CE。∴四边形BECF是菱形。
（2）∵四边形BECF是正方形，∴∠CBA=45°，
∵∠ACB=90°，∴∠A=45°。

（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC，根据四边相等的四边形是菱形即可证明。
（2）正方形的性质知，对角线平分一组对角，即∠ABC=45°，进而求出∠A=45°。