Question

定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．
性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．
理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S_△ACD=S_△BCD．
应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．
（1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；
（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．
探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，请直接写出△ABC的面积．

Answer 1

应用：（1）证明见解析
（2）△ABC的面积是2或。

试题分析：应用：（1）连接EF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE是平行四边形，从而根据平行四边形的性质证得OE=OB，即可证得△AOE和△AOB是友好三角形。
（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE、△ABF的面积，根据S_{四边形CDOF}=S_矩形ABCD﹣2S_△ABF即可求解。
解：应用：（1）证明：如图，连接EF，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC。
∵AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形。
∴OE=OB。∴△AOE和△AOB是友好三角形。
探究：分为两种情况：
①如图1，连接A′B，过B作BM⊥AC于M，

∵S_△ACD=S_△BCD．∴AD=BD=AB。
∵沿CD折叠A和A′重合，∴AD=A′D=AB=4=2。
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，
∴S_△DOC=S_△ABC=S_△BDC=S_△ADC=S_△A′DC。
∴DO=OB，A′O=CO。∴四边形A′DCB是平行四边形。∴BC=A′D=2。
∵AB=4，∠BAC=30°，∴BM=AB=2=BC。
∴C和M重合。∴∠ACB=90°。
由勾股定理得：，
∴△ABC的面积是×BC×AC=×2×=。
②如图2，连接A′B，过C作CQ⊥A′D于Q，

∵S_△ACD=S_△BCD，∴AD=BD=AB。
∵沿CD折叠A和A′重合，∴AD=A′D=AB4=2。
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，
∴S_△DOC=S_△ABC=S_△BDC=S_△ADC=S_△A′DC，
∴DO=OA′，BO=CO。∴四边形A′DCB是平行四边形。
∴BD=A′C=2。
∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30°，∴CQ=A′C=1，
∴S_△ABC=2S_△ADC=2S_△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2。
综上所述，△ABC的面积是2或。