Question

15．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，且∠ABC=60°，AB=BC，△ABC的外接圆⊙O交BC于E点，连接DE并延长，交AB的延长线于F，求证：CF=DB．

Answer 1

分析 连接AE，证明△ABC是等边三角形，根据圆周角定理得到AC为⊙O的直径，得到∠AEC=90°，根据等腰三角形的性质得到EC=EB，根据平行四边形的判定和性质定理证明即可．

解答 证明：连接AE，
∵∠ABC=60°，AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∵AB∥CD，∠DAB=90°，
∴∠ADC=∠DAB=90°，
∴AC为⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，
∵AC=AB，
∴EC=EB，
∵AB∥CD，
∴ED=EF，
∴四边形DBFC是平行四边形，
∴CF=DB．

点评 本题考查的是三角形的外接圆和外心、平行四边形的判定和性质，掌握圆周角定理、平行四边形的判定定理是解题的关键．