Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是BC的中点．求证：DE是⊙O的切线．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：先连接OD和BD，根据圆周角定理求出∠ADB=90°，根据直角三角形斜边上中线性质求出DE=BE，推出∠EDB=∠EBD，∠ODB=∠OBD，即可求出∠ODE=90°，根据切线的判定推出即可．

解答：证明：连接OD，BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDC=90°，
∵E为BC的中点，
∴DE=BE=CE，
∴∠EDB=∠EBD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠ABC=90°，
∴∠EDO=∠EDB+∠ODB=∠EBD+∠OBD=∠ABC=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．

点评：本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，圆周角定理的应用，解此题的关键是求出∠ODE=90°，注意：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．