Question

10．已知实数a、b满足$\sqrt{{a}^{2}-2a+1}$+$\sqrt{36-12a+{a}^{2}}$=10-|b+3|-|b-2|，求a²+b²的最大值．

Answer 1

分析 首先根据题意开平方，进而利用绝对值的性质化简求出答案．

解答 解：∵$\sqrt{{a}^{2}-2a+1}$+$\sqrt{36-12a+{a}^{2}}$=10-|b+3|-|b-2|，
∴$\sqrt{（a-1）^{2}}$+$\sqrt{（a-6）^{2}}$=10-|b+3|-|b-2|，
故原等式转化为：
|a-1|+|a-6|+|b+3|+|b-2|=10，
因为|a-1|+|a-6|≥5，|b+3|+|b-2|≥5，
所以|a-1|+|a-6|=5且|b+3|+|b-2|=5，
1≤a≤6，-3≤b≤2，
所以当a=6，b=-3时，
a²+b²有最大值为：36+9=45．

点评 此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确利用绝对值的性质化简是解题关键．