Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．

（1）求证：四边形BCDE为菱形；

（2）连接AC，若AC平分∠BAD，AB＝2，求菱形BCDE的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2.

【解析】

（1）根据菱形的判定证明即可；

（2）根据等边三角形的性质菱形的性质和三角函数解答即可．

（1）证明：∵E为AD的中点，

∴AD＝2DE＝2AE，

∵AD＝2BC，

∴DE＝BC，

又∵AD∥BC，

∴四边形BCDE为平行四边形，

∵∠ABD＝90°，E为AD中点，

∴在Rt△ABD中，AD＝2BE，

∴BE＝DE，

∴四边形BCDE为菱形；

（2）解：过点BF⊥AD于点F，如图所示：

∵AC平分∠BAD，

∴∠BAC＝∠DAC，

又∵AD∥BC，

∴∠BCA＝∠DAC，

∴∠BCA＝∠BAC，

∴AB＝BC，

∴AB＝BC＝BE＝DE＝AE＝2，

∴△ABE为等边三角形，

∴∠BAE＝60°，∠BDA＝30°

∴在Rt△ABD中，BD＝AB＝2

∴在Rt△BDF中，BF＝BD＝，

∴菱形BCDE的面积＝DE×BF＝2．