【题目】(1)问题发现:如图①,直线AB∥CD,E是AB与CD之间的一点,连接BE,CE,可以发现∠B+∠C=∠BEC.
请把下面的证明过程补充完整:
证明:过点E作EF∥AB,
∵AB∥DC(已知),EF∥AB(辅助线的作法),
∴EF∥DC( )
∴∠C=∠CEF.( )
∵EF∥AB,∴∠B=∠BEF(同理),
∴∠B+∠C= (等式性质)
即∠B+∠C=∠BEC.
(2)拓展探究:如果点E运动到图②所示的位置,其他条件不变,求证:∠B+∠C=360°﹣∠BEC.
(3)解决问题:如图③,AB∥DC,试写出∠A、∠C、∠AEC的数量关系 .(直接写出结论,不用写计算过程)
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)∠C+∠AEC-∠A=180.
【解析】
(1)过点E作EF∥AB,根据平行线的判定得出AB∥CD∥EF,根据平行线的性质得出即可;
(2)过点E作EF∥AB,根据平行线的判定得出AB∥CD∥EF,根据平行线的性质得出即可;
(3)过点E作EF∥AB,根据平行线的判定得出AB∥CD∥EF,根据平行线的性质得出即可.
(1)证明:如图①,过点E作EF∥AB,
∵AB∥DC(已知),EF∥AB(辅助线的作法),
∴EF∥DC(平行于同一直线的两直线平行),
∴∠C=∠CEF.(两直线平行,内错角相等),
∵EF∥AB,
∴∠B=∠BEF(同理),
∴∠B+∠C=∠BEF+∠CEF(等量代换)
即∠B+∠C=∠BEC,
故答案为:平行于同一直线的两直线平行,两直线平行,内错角相等,∠BEF+∠CEF;
(2)证明:如图②,过点E作EF∥AB,
∵AB∥DC(已知),EF∥AB(辅助线的作法),
∴EF∥DC(平行于同一直线的两直线平行),
∴∠C+∠CEF=180°,∠B+∠BEF=180°,
∴∠B+∠C+∠AEC=360°,
∴∠B+∠C=360°-∠BEC;
(3)解:如图③,过点E作EF∥AB,
∵AB∥DC(已知),EF∥AB(辅助线的作法),
∴EF∥DC(平行于同一直线的两直线平行),
∴∠C+∠CEF=180°,∠A=∠AEF,
∴∠CEF=∠ACE-∠AEF,
∴∠C+∠AEC-∠A=180°.
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【题目】已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1,4)和点B(m,﹣2),
(1)求这两个函数的关系式;
(2)观察图象,写出使得y1>y2成立的自变量x的取值范围;
(3)如果点C与点A关于x轴对称,求△ABC的面积.
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【题目】如图,AB∥CD,分别探索下列四个图形中∠P、∠A、∠C,发现有如下三种数量关系:∠A+∠C =∠P ;∠P+∠A =∠C ;∠P+∠C =∠A,请你选择其中的两种数量关系说明理由.
(1)我选择的是图 ,数量关系式是 .
理由:
(2) 我选择的是图 ,数量关系式是 .
理由:
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【题目】如图,正方形ABCD边长为3,连接AC,AE平分∠CAD,交BC的延长线于点E,FA⊥AE,交CB延长线于点F,则EF的长为__________.
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【题目】如图,⊙半径为, 是⊙的直径, 是⊙上一点,连接,⊙外的一点 在直线上.
()若, .
①求证: 是⊙的切线.
②阴影部分的面积是__________.(结果保留)
()当点在⊙上运动时,若是⊙的切线,探究与的数量关系.
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【题目】在平面直角坐标系中, △ABC三个顶点的位置如图(每个小正方形的边长均为1).
(1)请画出△ABC沿x轴向右平移3个单位长度,再沿y轴向上平移2个单位长度后的△A′B′C′(其中A′、B′、C′分别是A、B、C的对应点,不写画法)
(2)直接写出A′、B′、C′三点的坐标: A′(_____,______); B′(_____,______); C′(_____,______)。
(3)求△ABC的面积。
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【题目】如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,AD∥BC,AD=2BC,∠ABD=90°,E为AD的中点,连接BE.
(1)求证:四边形BCDE为菱形;
(2)连接AC,若AC平分∠BAD,AB=2,求菱形BCDE的面积.
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