Question

12．已知等腰三角形的底边长为20，面积为$\frac{100}{3}\sqrt{3}$，求等腰三角形的三个内角及腰长．

Answer 1

分析 如图，AB=AC，BC=20，作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=10，∠C=∠B，先利用面积公式可计算出AD=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，再在Rt△ADB中利用正切的定义可求出∠B=30°，则AB=2AD=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$，∠C=∠B=30°，然后根据三角形内角和可求出∠BAC=120°．

解答 解：如图，AB=AC，BC=20，
作AD⊥BC于D，则BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=10，
∵$\frac{1}{2}$•BC•AD=$\frac{100\sqrt{3}}{3}$，
∴AD=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△ADB中，∵tanB=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{\frac{10\sqrt{3}}{3}}{10}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠B=30°，
∴AB=2AD=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=30°，
∴∠BAC=180°-30°-30°=120°．
答：等腰三角形的三个内角分别为30°、30°、120°，腰长为$\frac{20\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质．