Question

【题目】如图，AB、BF分别是⊙O的直径和弦，弦CD与AB、BF分别相交于点E、G，过点F的切线HF与DC的延长线相交于点H，且HF＝HG.

（1）求证：AB⊥CD；

（2）若sin∠HGF＝，BF＝3，求⊙O的半径长.

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）2

【解析】试题分析：（1）根据切线的性质以及等腰三角形的性质首先求出 进而得出,可得出
（2）连接AF，首先得出 利用锐角三角函数得出AB即可得出半径．

试题解析：（1）连接OF.

∵OF=OB，

∴∠OFB=∠B，

∵HF是⊙O的切线，

∴∠OFH=90°

∴∠HFB+∠OFB=90°，

∴∠B+∠HFB=90°，

∵HF=HG，

∴∠HFG=∠HGF，

又∵∠HGF=∠BGE，

∴∠BGE=∠HFG，

∴∠BGE+∠B=90°，

∴∠GEB=90°，

∴AB⊥CD.

（2）连接AF.

∵AB为⊙O直径,

∴∠AFB=90°,

∴∠A+∠B=90°,

∴∠A=∠BGE,

又∵∠BGE=∠HGF,

∠A=∠HGF,

∵

∵∠AFB=90°，BF=3 ,

∴ AB=4.

∴OA=OB=2 .

即⊙O的半径为2.