【题目】如图①,AB为半圆的直径,O为圆心,C为圆弧上一点,AD垂直于过C点的切线,垂足为D,AB的延长线交直线CD于点E.
(1)求证:AC平分∠DAB;
(2)若AB=4,B为OE的中点,CF⊥AB,垂足为点F,求CF的长;
(3)如图②,连接OD交AC于点G,若,求sinE的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)CF=;(3) sinE=.
【解析】分析:(1)连接OC,由平行线的判定定理、性质以及三角形中的等角对等边的原理即可求证。(2)由(1)中结论,利用特殊角的三角函数值可求出∠E=30和CF的长度。(3)连接OC,即可证得△OCG∽△DAG,△OCE∽△DAE,根据相似三角形的对应边成比例,可得EO与AO的比例关系,又因为OC=OA,所以在RT△OCE中由三角函数的定义即可求解。
本题解析:(1)连接OC,如图①.∵OC切半圆O于C,∴OC⊥DC,又AD⊥CD.∴OC∥AD.∴∠OCA=∠DAC.∵OC=OA,∴∠OAC=∠ACO.∴∠DAC=∠CAO,即AC平分∠DAB.
(2)在Rt△OCE中,∵OC=OB=OE,∴∠E=30°.
∴在Rt△OCF中,CF=OC·sin60°=2×=.
(3)连接OC,如图②.∵CO∥AD,∴△CGO∽△AGD.∴==.不妨设CO=AO=3k,则AD=4k.又△COE∽△DAE,∴===.∴EO=9k.在Rt△COE中,sinE===.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】如图,有一块含30°角的直角三角板OAB的直角边BO的长恰与另一块等腰直角三角板ODC的斜边OC的长相等,把这两块三角板放置在平面直角坐标系中,且OB=3.
(1)若某反比例函数的图象的一个分支恰好经过点A,求这个反比例函数的解析式;
(2)若把含30°角的直角三角板绕点O按顺时针方向旋转后,斜边OA恰好落在x轴上,点A落在点A′处,试求图中阴影部分的面积.(结果保留π)
【答案】(1)反比例函数的解析式为y=;(2)S阴影=6π-.
【解析】分析:(1)根据tan30°=,求出AB,进而求出OA,得出A的坐标,设过A的双曲线的解析式是y=,把A的坐标代入求出即可;(2)求出∠AOA′,根据扇形的面积公式求出扇形AOA′的面积,求出OD、DC长,求出△ODC的面积,相减即可求出答案.
本题解析:
(1)在Rt△OBA中,∠AOB=30°,OB=3,
∴AB=OB·tan 30°=3.
∴点A的坐标为(3,3).
设反比例函数的解析式为y= (k≠0),
∴3=,∴k=9,则这个反比例函数的解析式为y=.
(2)在Rt△OBA中,∠AOB=30°,AB=3,
sin ∠AOB=,即sin 30°=,
∴OA=6.
由题意得:∠AOC=60°,S扇形AOA′==6π.
在Rt△OCD中,∠DOC=45°,OC=OB=3,
∴OD=OC·cos 45°=3×=.
∴S△ODC=OD2==.
∴S阴影=S扇形AOA′-S△ODC=6π-.
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【题目】如图,OA,OD是⊙O半径.过A作⊙O的切线,交∠AOD的平分线于点C,连接CD,延长AO交⊙O于点E,交CD的延长线于点B.
(1)求证:直线CD是⊙O的切线;
(2)如果D点是BC的中点,⊙O的半径为 3cm,求的长度.(结果保留π)
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【题目】如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,坝顶宽AD=5米,斜坡AB的坡度i=1:3(指坡面的铅直高度AE与水平宽度BE的比),斜坡DC的坡度i=1:1.5,已知该拦水坝的高为6米.
(1)求斜坡AB的长;
(2)求拦水坝的横断面梯形ABCD的周长.(注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)
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【题目】某校初二开展英语拼写大赛,爱国班和求知班根据初赛成绩,各选出5名选手参加复赛,两个班各选出的5名选手的复赛成绩如图所示:
(1)根据图示填写下表:
班级 | 中位数(分) | 众数(分) | 平均数(分) |
爱国班 | 85 | ||
求知班 | 100 | 85 |
(2)结合两班复赛成绩的平均数和中位数,分析哪个班级的复赛成绩比较好?
(3)已知爱国班复赛成绩的方差是70,请求出求知班复赛成绩的方差,并说明哪个班成绩比较稳定?
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【题目】观察下图并填表(单位)
梯形个数 | n | |||||||
图形周长 | ······ |
请通过计算说明第个图形的周长比第个图形的周长多多少?
类比推理,直角三角形的三边长分别是,请直接写出增加到第个直角三角形时,所得图形的周长为 .
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【题目】如图所示,一根长2a的木棍,斜靠在与地面垂直的墙上,设木棍的中点为若木棍A端沿墙下滑,且B端沿地面向右滑行.
请判断木棍滑动的过程中,点P到点O的距离是否变化,并简述理由.
在木棍滑动的过程中,当滑动到什么位置时,的面积最大?简述理由,并求出面积的最大值.
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【题目】2013年3月28日是全国中小学生安全教育日,某学校为加强学生的安全意识,组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛,从中抽取了部分学生成绩(得分取正整数,满分为100分)进行统计,请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图,解答下列问题:
频率分布表 频数分布直方图
(1)这次抽取了名学生的竞赛成绩进行统计,其中: , ;
(2)补全频数分布直方图;
(3)若成绩在70分以下(含70分)的学生为安全意识不强,有待进一步加强安全教育,则该校安全意识不强的学生约有多少人?
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【题目】如图,在中,,垂足为,为直线上一动点(不与点重合),在的右侧作,使得,连接.
(1)求证:;
(2)当在线段上时
① 求证:≌;
② 若, 则;
(3)当CE∥AB时,若△ABD中最小角为20°,试探究∠ADB的度数(直接写出结果)
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,PA、PC与⊙O分别相切于点A、C,PC交AB的延长线于点D.DE⊥PO交PO的延长线于点E.
(1)求证:∠EPD=∠EDO;
(2)若PC=6,tan∠PDA=,求OE的长.
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