精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

【题目】如图①,AB为半圆的直径,O为圆心,C为圆弧上一点,AD垂直于过C点的切线,垂足为D,AB的延长线交直线CD于点E.

(1)求证:AC平分∠DAB;

(2)若AB=4,B为OE的中点,CF⊥AB,垂足为点F,求CF的长;

(3)如图②,连接OD交AC于点G,若,求sinE的值.

【答案】(1)证明见解析;(2)CF=;(3) sinE=.

【解析】分析:(1)连接OC,由平行线的判定定理、性质以及三角形中的等角对等边的原理即可求证。(2)由(1)中结论,利用特殊角的三角函数值可求出∠E=30CF的长度。(3)连接OC,即可证得△OCG∽△DAG,△OCE∽△DAE,根据相似三角形的对应边成比例,可得EOAO的比例关系,又因为OC=OA,所以在RT△OCE中由三角函数的定义即可求解。

本题解析:(1)连接OC,如图①.∵OC切半圆O于C,∴OC⊥DC,又AD⊥CD.∴OC∥AD.∴∠OCA=∠DAC.∵OC=OA,∴∠OAC=∠ACO.∴∠DAC=∠CAO,即AC平分∠DAB.

(2)在Rt△OCE中,∵OC=OB=OE,∴∠E=30°.

∴在Rt△OCF中,CF=OC·sin60°=2×.

(3)连接OC,如图②.∵CO∥AD,∴△CGO∽△AGD.∴.不妨设CO=AO=3k,则AD=4k.又△COE∽△DAE,∴.∴EO=9k.在Rt△COE中,sinE=.

型】解答
束】
25

【题目】如图,有一块含30°角的直角三角板OAB的直角边BO的长恰与另一块等腰直角三角板ODC的斜边OC的长相等,把这两块三角板放置在平面直角坐标系中,且OB=3.

(1)若某反比例函数的图象的一个分支恰好经过点A,求这个反比例函数的解析式;

(2)若把含30°角的直角三角板绕点O按顺时针方向旋转后,斜边OA恰好落在x轴上,点A落在点A′处,试求图中阴影部分的面积.(结果保留π)

【答案】(1)反比例函数的解析式为y=;(2)S阴影=6π-.

【解析】分析:(1)根据tan30°=,求出AB,进而求出OA,得出A的坐标,设过A的双曲线的解析式是y=,把A的坐标代入求出即可;(2)求出∠AOA′,根据扇形的面积公式求出扇形AOA′的面积,求出OD、DC长,求出△ODC的面积,相减即可求出答案.

本题解析:

(1)在Rt△OBA中,∠AOB=30°,OB=3

∴AB=OB·tan 30°=3.

∴点A的坐标为(3,3).

设反比例函数的解析式为y= (k≠0),

∴3,∴k=9,则这个反比例函数的解析式为y=.

(2)在Rt△OBA中,∠AOB=30°,AB=3,

sin ∠AOB=,即sin 30°=

∴OA=6.

由题意得:∠AOC=60°,S扇形AOA′=6π.

Rt△OCD中,∠DOC=45°,OC=OB=3

∴OD=OC·cos 45°=3×.

∴SODCOD2.

∴S阴影=S扇形AOA′-SODC=6π.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,OAOD是⊙O半径.过A作⊙O的切线,交∠AOD的平分线于点C,连接CD,延长AO交⊙O于点E,交CD的延长线于点B

(1)求证:直线CD是⊙O的切线;

(2)如果D点是BC的中点,⊙O的半径为 3cm,求的长度.(结果保留π)

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,坝顶宽AD=5米,斜坡AB的坡度i=1:3(指坡面的铅直高度AE与水平宽度BE的比),斜坡DC的坡度i=1:1.5,已知该拦水坝的高为6米.

(1)求斜坡AB的长;

(2)求拦水坝的横断面梯形ABCD的周长.(注意:本题中的计算过程和结果均保留根号

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】某校初二开展英语拼写大赛,爱国班和求知班根据初赛成绩,各选出5名选手参加复赛,两个班各选出的5名选手的复赛成绩如图所示:

1)根据图示填写下表:

班级

中位数(分)

众数(分)

平均数(分)

爱国班

85

求知班

100

85

2)结合两班复赛成绩的平均数和中位数,分析哪个班级的复赛成绩比较好?

3)已知爱国班复赛成绩的方差是70,请求出求知班复赛成绩的方差,并说明哪个班成绩比较稳定?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】观察下图并填表(单位

梯形个数

n

图形周长

······

请通过计算说明第个图形的周长比第个图形的周长多多少

类比推理,直角三角形的三边长分别是,请直接写出增加到第个直角三角形时,所得图形的周长为 .

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图所示,一根长2a的木棍,斜靠在与地面垂直的墙上,设木棍的中点为若木棍A端沿墙下滑,且B端沿地面向右滑行.

请判断木棍滑动的过程中,点P到点O的距离是否变化,并简述理由.

在木棍滑动的过程中,当滑动到什么位置时,的面积最大?简述理由,并求出面积的最大值.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】2013年3月28日是全国中小学生安全教育日,某学校为加强学生的安全意识,组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛,从中抽取了部分学生成绩(得分取正整数,满分为100分)进行统计,请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图,解答下列问题:

频率分布表 频数分布直方图

(1)这次抽取了名学生的竞赛成绩进行统计,其中:

(2)补全频数分布直方图;

(3)若成绩在70分以下(含70分)的学生为安全意识不强,有待进一步加强安全教育,则该校安全意识不强的学生约有多少人?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,在中,,垂足为直线上一动点(不与点重合),在的右侧作,使得,连接

1)求证:

2)当在线段上时

求证:

,

3)当CEAB时,若△ABD中最小角为20°,试探究∠ADB的度数(直接写出结果)

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,AB是⊙O的直径,PA、PC与⊙O分别相切于点A、C,PC交AB的延长线于点D.DE⊥PO交PO的延长线于点E.

(1)求证:∠EPD=∠EDO;

(2)若PC=6,tan∠PDA=,求OE的长.

查看答案和解析>>

同步练习册答案