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【题目】已知正比例函数ykx经过点A,点A在第四象限,过点AAHx轴,垂足为点H,点A的横坐标为3,且△AOH的面积为3

1)求正比例函数的表达式;

2)在x轴上能否找到一点M,使△AOM是等腰三角形?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=﹣x(2)当点M的坐标为(﹣0)、(0)、(60)或(0)时,△AOM是等腰三角形.

【解析】

1)根据点A的横坐标、AOH的面积结合点A所在的象限,即可得出点A的坐标,再利用待定系数法即可求出正比例函数的表达式;

2)分OMOAAOAMOMMA三种情况考虑,①当OMOA时,根据点A的坐标可求出OA的长度,进而可得出点M的坐标;②当AOAM时,由点H的坐标可求出点M的坐标;③当OMMA时,设OMx,则MH3x,利用勾股定理可求出x值,进而可得出点M的坐标.综上即可得出结论.

解:(1)∵点A的横坐标为3AOH的面积为3,点A在第四象限,

∴点A的坐标为(3,﹣2).

A3,﹣2)代入ykx

23k,解得:k=﹣

∴正比例函数的表达式为y=﹣x

2)①当OMOA时,如图1所示,

∵点A的坐标为(3,﹣2),

OH3AH2OA

∴点M的坐标为(﹣0)或(0);

②当AOAM时,如图2所示,

∵点H的坐标为(30),

∴点M的坐标为(60);

③当OMMA时,设OMx,则MH3x

OMMA

x

解得:x

∴点M的坐标为(0).

综上所述:当点M的坐标为(﹣0)、(0)、(60)或(0)时,AOM是等腰三角形.

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