Question

【题目】已知为直线上的一点，是直角，平分．

（1）如图1，若=°，则= °，与的数量关系为 ．

（2）当射线绕点逆时针旋转到如图2的位置时，（1）中与的关系是否仍然成立？如成立，请说明理由．

（3）在图3中，若=°，在的内部是否存在一条射线，使得？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）56°；∠BOE＝2∠COF；(2) ∠BOE＝2∠COF仍然成立，理由见解析；（3）存在，∠BOD＝16°.

【解析】

（1）由题意可知：∠FOE＝90°∠COF，由角平分线的性质可求得∠AOE＝2∠EOF，所以∠BOE＝180°∠AOE，即可求得答案，设∠COF＝n°，同理可得∠BOE＝2∠COF；
（2）设∠COF＝n°，故∠EOF＝90°n，由角平分线的性质即可求得∠AOE＝180°2n°，从而求得∠BOE与∠COF的数量关系；
（3）由（2）可知：∠BOE＝2∠COF＝130°，进而求得∠AOE＝180°∠BOE＝50°，由于OF平分∠AOE，所以∠AOF＝∠AOE＝25°，分别代入2∠BOD＋∠AOF＝（∠BOE∠BOD）解得∠BOD即可.

解：（1）∵∠COE是直角，∠COF＝28°，
∴∠EOF＝90°∠COF＝62°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝124°，
∴∠BOE＝180°∠AOE＝56°，
若∠COF＝n°，则∠EOF＝90° n°，

∴∠AOE＝2∠EOF＝180° 2n°，
∴∠BOE＝180°∠AOE＝2n°，
∴∠BOE＝2∠COF；
（2）∠BOE＝2∠COF仍然成立，

理由：设∠COF＝n°，
∴∠EOF＝90°∠COF＝90°n°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝180°2n°，
∴∠BOE＝180°∠AOE＝2n°＝2∠COF，
故∠BOE与∠COF的关系是仍然成立；
（3）由（2）可知：∠BOE＝2∠COF＝130°，
∴∠AOE＝180°∠BOE＝50°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠AOE＝25°，
∵2∠BOD＋∠AOF＝（∠BOE∠BOD），
∴2∠BOD＋25°＝（130°∠BOD）
解得：∠BOD＝16°.