Question

在平面直角坐标系xOy中，已知第一象限的点A在反比例函数y=

1

x

的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y=

k

x

的图象上，连接OA、OB．若OA丄OB，OB=

2

2

OA，求反比例函数y=

k

x

的解析式．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，如图，设点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），可得ab=1，OD=a，AD=b，k=cd，OC=-c，BC=d．易证△OCB∽△ADO，利用相似三角形的性质可得OC=

2

2

AD，BC=

2

2

OD，则有-c=

2

2

b，d=

2

2

a，从而可求出k的值，问题得以解决．

解答：解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，如图，
则有∠ADO=∠OCB=90°．
设点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），
∵第一象限的点A在反比例函数y=

1

x

的图象上，
∴ab=1，a＞0，b＞0，
∴OD=a，AD=b．
∵第二象限内的点B在反比例函数y=

k

x

的图象上，
∴k=cd，c＜0，d＞0，
∴OC=-c，BC=d．
∵OA丄OB，∴∠AOB=90°，
∴∠DOA=90°-∠COB=∠CBO，
∴△OCB∽△ADO，
∴

OC

AD

=

BC

OD

=

OB

AO

．
∵OB=

2

2

OA，
∴OC=

2

2

AD，BC=

2

2

OD，
∴-c=

2

2

b，d=

2

2

a，
∴k=cd=-

2

2

b•

2

2

a=-

1

2

ab=-

1

2

，
∴反比例函数的解析式为y=-

1

2x

．

点评：本题主要考查了反比例函数的坐标特征、相似三角形的判定与性质等知识，而构造K型相似则是解决本题的关键．