Question

如图是二次函数y=（x+m）²+k的图象，其顶点坐标为M（1，-4）．
（1）求出图象与x轴的交点A，B的坐标；
（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S_△PAB=

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S_△MAB？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点C在x轴上一动点，以BC为边作正方形BCDE，正方形BCDE还有一个顶点（除点B外）在抛物线上，请写出满足条件的点E的坐标；
（4）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b与此图象至少有三个公共点时，请直接写出b的取值范围是

 

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Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）由顶点坐标确定m、k的值，再令y=0求得图象与x轴的交点坐标；
（2）设存在这样的P点，由于底边相同，求出△PAB的高|y|，将y求出代入二次函数表达式求得P点坐标；
（3）根据题意，不妨设C点的坐标为（m，0），点E在抛物线y=x²-2x-3上．当BC为正方形BCDE的边时，则E点的坐标为（m，m²-2m-3），根据正方形的边长相等，BC=DE列出关于m的方程，求解即可．
（4）画出翻转后新的函数图象，由直线y=x+b确定出直线移动的范围，求出b的取值范围．

解答：解：（1）∵M（1，-4）是二次函数y=（x+m）²+k的顶点坐标，
∴y=（x-1）²-4=x²-2x-3，
当x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3．
∴A、B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3，0）；

（2）在二次函数的图象上存在点P，使S△PAB=

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S△MAB
设p（x，y），则S△PAB=

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|AB|×|y|=2|y|，又S△MAB=

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|AB|×|-4|=8，
∴2|y|=

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×8，即y=±5，
∵二次函数的最小值为-4，
∴y=5．
当y=5时，x=-2或x=4．
∴P点坐标为（-2，5）或（4，5）；

（3）不妨设点E在抛物线y=x²-2x-3上，C点的坐标为（m，0）．
当BC为正方形BCDE的边时，则E点的坐标为（m，m²-2m-3）．
∵四边形BCDE是正方形，
∴BC=DE，
∴|m-3|=|m²-2m-3|，
即m-3=m²-2m-3，或m-3=-（m²-2m-3），
解得m₁=0，m₂=3，或m₁=-2，m₂=3，
当m=3时，C点与B点重合，不合题意，舍去，
∴E点的坐标为（0，0）或（-2，0），则B₁（3，4），B₂（3，-4），

（4）如图3，依题意知，当-1≤x≤3时，翻折后的抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3
与直线y=x+b与新抛物线有1个交点时，-x²+2x+3=x+b，即x²-x-3-b=0，
则△=（-1）²-4×（-3-b）=0，
解得 b=

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当直线y=x+b经过A（-1，0）时-1+b=0，
可得b=1，
由题意可知y=x+b在y=x+1的下方．
由图可知符合题意的b的取值范围1≤b≤

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故答案是：1≤b≤

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点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，中点坐标公式，两点间的距离公式，正方形的性质，综合性较强，难度较大，其中（3）进行分类讨论是解题的关键．